ファア・ディ・ブルーノの公式

させて${\displaystyle y=g(x_{1},\dots ,x_{n})}$すると、次の恒等式は、${\displaystyle n}$変数はすべて異なるか、すべて同一か、区別できない変数のいくつかの区別可能なクラスに分割されます（分かりにくい場合は、以下の非常に具体的な例を参照してください）：^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}}$

（上記のとおり）

• ${\displaystyle \pi }$セットを走る${\displaystyle \Pi }$セットのすべての分割のうち${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$、
• 「${\displaystyle B\in \pi }$「」は変数を意味します${\displaystyle B}$パーティションのすべての「ブロック」のリストを順に処理します。${\displaystyle \pi }$、 そして
• ${\displaystyle |A|}$集合の濃度を表す${\displaystyle A}$（となることによって${\displaystyle |\pi |}$パーティション内のブロック数${\displaystyle \pi }$そして

${\displaystyle |B|}$ブロックのサイズ${\displaystyle B}$)

より一般的なバージョンは、すべての関数がベクトル空間値関数、さらにはバナッハ空間値関数である場合にも適用されます。この場合、フレシェ微分またはガトー微分を考慮する必要があります。

例

次の式の5つの項は、集合の5つの分割に明白に対応している。${\displaystyle \{1,2,3\}}$、そして各場合において、導関数の次数は${\displaystyle f}$パーティション内のパーツ数：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}}$

3つの変数が互いに区別できない場合、上記の5つの項のうち3つも互いに区別できないため、古典的な1変数公式が得られます。

仮定する${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}}$そして${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}}$は形式的冪級数であり、${\displaystyle b_{0}=0}$。

次に構成${\displaystyle f\circ g}$これも形式的な冪級数である。

${\displaystyle f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},}$

どこ${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$そしてもう一方の係数${\displaystyle c_{n}}$のために${\displaystyle n\geq 1}$は 、​${\displaystyle n}$または、整数分割上の同等の和として${\displaystyle n}$:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}}$

は、${\displaystyle n}$と${\displaystyle k}$部品の数を表す、

または

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}}$

は、の分割の集合である。${\displaystyle n}$の中へ${\displaystyle k}$部品、部品頻度形式で表したもの。

最初の形式は、係数を取り出すことによって得られます。${\displaystyle x^{n}}$ で${\displaystyle (b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}}$「目視」によって、そして同類項をまとめることによって、あるいは多項式の定理を適用することによって、2 番目の形式が得られます。

特別なケース${\displaystyle f(x)=e^{x}}$、${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}}$指数公式を与える。${\displaystyle f(x)=1/(1-x)}$、${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}}$形式的冪級数の 逆数 の式を与える${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}}$ケース${\displaystyle a_{0}=1}$。

スタンレー^{[ 4 ]} は指数べき級数のバージョンを示している。形式的なべき級数では

${\displaystyle f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},}$

私たちは${\displaystyle n}$0における th 導関数:

${\displaystyle f^{(n)}(0)=a_{n}.}$

これは関数の値として解釈されるべきではありません。なぜなら、これらの級数は純粋に形式的なものであり、この文脈では収束や発散といった概念は存在しないからです。

もし

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}}$

そして

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

そして

${\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},}$

すると係数${\displaystyle c_{n}}$（それは${\displaystyle n}$の 階微分${\displaystyle h}$収束級数ではなく形式的べき級数を扱っている場合は 0 で評価される）は、次のように与えられる。

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}}$

どこ${\displaystyle \pi }$セットのすべてのパーティションのセットを走査します${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$そして${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ パーティションのブロックは${\displaystyle \pi }$、 そして${\displaystyle |B_{j}|}$ は、${\displaystyle j}$thブロック、${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$。

この形式の公式は、特に組み合わせ論の目的に適している。

また、上記の表記法に関して記述することもできます。

${\displaystyle g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},}$

どこ${\displaystyle B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}$ベル多項式です。

もし${\displaystyle f(x)=e^{x}}$すると、すべての導関数は${\displaystyle f}$これらは同じであり、すべての用語に共通する要素です。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),}$

どこ${\displaystyle B_{n}(x)}$はn番目の完全な指数ベル多項式です。

万一に備えて${\displaystyle g(x)}$はキュムラント生成関数である。${\displaystyle f(g(x))}$はモーメント生成関数 であり、 のさまざまな導関数の多項式である。${\displaystyle g}$は、モーメントをキュムラントの関数として表す多項式です。

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