完全な乗法関数

数論では、積を尊重する正の整数の関数が重要であり、完全乗法関数または全乗法関数と呼ばれます。互いに素な数の積のみを尊重するより弱い条件も重要であり、そのような関数は乗法関数と呼ばれます。数論以外では、「乗法関数」という用語は、この記事で定義されている「完全乗法関数」と同義であるとよく使用されます。

完全乗法関数（ぜんていばんふくしゅう、英: completely multiplicative function）は、自然数 を定義域とする算術関数であり、すべての正の整数aとbに対してf (1) = 1 かつf ( ab ) = f ( a ) f ( b ) が成り立つ。^[1]

論理表記では、およびです。 ${\displaystyle f(1)=1}$${\displaystyle \forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)f(b)}$

f (1) = 1という要件がない場合でも、 f (1) = 0 となる可能性がありますが、その場合、すべての正の整数aに対してf ( a ) = 0 となるため、これはそれほど強い制約ではありません。 を固定しなかった場合、と の両方が の値の可能性があることを次のように 確認できます。${\displaystyle f(1)=1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}}$$

上記の定義は、代数の言語を使用して言い換えることができます。完全な乗法関数は、モノイド(つまり、乗算による正の整数) から他のモノイドへの準同型です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$

完全に乗法的な関数の最も簡単な例は、係数が 1 の単項式です: 任意の特定の正の整数nに対して、f ( a ) = a ⁿと定義します。すると、f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c ) となり、f (1) = 1 ⁿ = 1 となります。

リウヴィル関数は、ディリクレ指標、ヤコビ記号、ルジャンドル記号と同様に、完全な乗法関数の重要な例です。

完全に乗法的な関数は、算術の基本定理の帰結として、素数における値によって完全に決定されます。したがって、n が異なる素数の累乗の積、たとえばn = p ^a q ^b ... である場合、f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ... となります。

2 つの乗法関数のディリクレ畳み込みは乗法ですが、2 つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みは必ずしも完全乗法である必要はありません。2 つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みとして記述できる算術関数は、二次関数または特殊乗法乗法関数と呼ばれます。これらは、次数 (2, 0) の有理算術関数であり、ブッシュ・ラマヌジャン恒等式に従います。

関数が完全に乗法的であることと同値な記述は多様である。例えば、関数fが乗法的である場合、そのディリクレ逆関数が である場合に限り、関数は完全に乗法的である。ここで はメビウス関数である。^[2]${\displaystyle \mu \cdot f}$${\displaystyle \mu}$

完全に乗法的な関数も分配法則を満たす。fが完全に乗法的な場合、

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

ここで、*はディリクレ積を表し、 点ごとの乗算を表す。^[3] この結果、任意の乗法関数fに対して、 ${\displaystyle \cdot}$

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

これは、と を両方置くことで上記から推測できます。ここで は定数関数です。ここでは、 は除数関数です。 ${\displaystyle g=h=1}$${\displaystyle 1(n)=1}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ }}f{\text{ は完全に乗法なので) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

完全（または完全に）乗法的 な ディリクレ級数 のL関数は、${\displaystyle a(n)}$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

つまり、すべての自然数の合計はすべての素数の積に等しいということです。

• 算術関数
• ディリクレL関数
• ディリクレ級数
• 乗算関数

• TM Apostol, 完全乗法算術関数のいくつかの特性, Amer. Math. Monthly 78 (1971) 266-271.

• P. Haukkanen、「完全に乗法的な算術関数の特徴について」、数論、トゥルク、de Gruyter、2001年、115-123ページ。

• E. Langford, ディリクレ積と完全乗法算術関数の分配性、Amer. Math. Monthly 80 (1973) 411–414。

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