ラインハルト多角形

幾何学において、ラインハルト多角形はルーロー多角形に内接する正多角形である。正多角形と同様に、ラインハルト多角形の各頂点は、多角形の直径の少なくとも1つの定義ペアに関与する。 が2の累乗でない場合は、辺を持つラインハルト多角形が、多くの場合複数の形式で存在する。辺を持つすべての多角形の中で、ラインハルト多角形は、直径に対して可能な限り最大の周長、直径に対して可能な限り最大の幅、および周囲に対して可能な限り最大の幅を持つ。ラインハルト多角形は、1922年に研究したカール・ラインハルトにちなんで名付けられている。^{[1] [2]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ルーロー多角形は、円弧の辺を持つ凸形状で、各辺は形状の頂点を中心とし、すべて同じ半径を持ちます。例として、ルーロー三角形が挙げられます。これらの形状は、一定幅の曲線です。ルーロー多角形の中には、辺の長さが互いに無理数倍であるものもありますが、ルーロー多角形の辺が等しい長さの弧の系に分割できる場合、これらの弧の端点の凸包として形成される多角形は、ラインハルト多角形として定義されます。必然的に、基礎となるルーロー多角形の頂点は、ラインハルト多角形の弧と頂点の端点でもありますが、ラインハルト多角形には、ルーロー多角形の辺の内側にある追加の頂点がある場合もあります。^[3]

が2 の累乗である場合、 辺を持つラインハルト多角形を形成することはできません。が奇数である場合、辺を持つ正多角形はラインハルト多角形です。 その他の自然数はを奇数の約数で表す必要があり、 辺を持つラインハルト多角形は、正多角形の各弧をより小さな弧に分割することによって形成できます。 したがって、ラインハルト多角形の可能な辺の数は、2 の累乗ではない数であるポライト数です。 が奇数の素数、または素数の 2 倍である場合、 辺ラインハルト多角形の形状は 1 つだけですが、 のその他の値には複数の形状を持つラインハルト多角形があります。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n/d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ラインハルト多角形の直径のペアは、頂点角 を持つ二等辺三角形を多数形成します。これらの三角形から多角形の寸法を計算できます。ラインハルト多角形の辺の長さが 1 の場合、その周囲は です。多角形の直径 (任意の 2 つの点間の最長距離) は、これらの二等辺三角形の辺の長さ に等しくなります。多角形の一定幅の曲線(任意の 2 つの平行支持線間の最短距離) は、この三角形の高さ に等しくなります。これらの多角形は、次の 3 つの点で最適です。 ${\displaystyle \pi /n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/2\sin(\pi /2n)}$${\displaystyle 1/2\tan(\pi /2n)}$

• これらは、その直径を持つすべての辺長多角形の中で最大の周長を持ち、その周囲を持つすべての辺長多角形の中で最小の直径を持つ。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• これらは、直径を持つすべての角形の中で最大の幅を持ち、幅を持つすべての角形の中で最小の直径を持ちます。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• これらは、その周囲長を持つすべての角形の中で最大の幅を持ち、その幅を持つすべての角形の中で最小の周囲長を持つ。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

これらの多角形の周囲と直径の関係はラインハルトによって証明され、^[4]何度も独立して再発見されました。^{[5] [6]}直径と幅の関係は 2000 年にベズデックとフォドールによって証明されました。彼らの研究では、辺の数が 2 の累乗である場合 (ラインハルト多角形は存在しません) にこの問題に最適な多角形も調査されています。^[7]

正ルーロー多角形から形成される 辺ラインハルト多角形は対称であり、 の角度で回転させて同じ多角形を得ることができます。このような回転対称性を持つラインハルト多角形は周期的 と呼ばれ、回転対称性を持たないラインハルト多角形は散在的 と呼ばれます。が半素数、つまり2 の累乗と奇数の素数累乗の積である場合、すべての辺ラインハルト多角形は周期的です。 が 2 つの異なる奇数の素因数を持ち、 がこれら 2 つの因数の積でない場合、散在的なラインハルト多角形も存在します。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2\pi /d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

各 に対して、異なる 辺を持つラインハルト多角形の数は有限個しかありません。 ^[3]が の最小の素因数である場合、異なる 辺を持つ周期的なラインハルト多角形の数は であり 、この項 ではO 表記はほとんど使用されません。しかし、散在するラインハルト多角形の数は十分に理解されておらず、ラインハルト多角形の総数のほとんどの値に対して、散在するラインハルト多角形が大部分を占めています。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {p2^{n/p}}{4n}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )},}$$${\displaystyle o(1)}$${\displaystyle n}$

の値が小さい場合のこれらの多角形の数は（2つの多角形を回転または反転して互いに形成できる場合は同じものとして数える）次のとおりです。^[1]${\displaystyle n}$

• 最も大きい小さな多角形、直径に対して面積を最大化する多角形