ショケ積分

ショケ積分は、1953年にフランスの数学者ギュスターヴ・ショケによって考案された、劣加法積分または優加法積分である。 ^[1]当初は統計力学やポテンシャル理論で使用されていたが、^[2] 1980年代に意思決定理論に取り入れられ、 ^[3]不確実なイベントの期待効用を測定する方法として使用されている。特に、メンバーシップ関数と容量に適用される。不正確な確率理論では、ショケ積分は、2 単調下側確率によって誘導される下側期待値、または 2 交代上側確率によって誘導される上側期待値を計算するためにも使用される。

ショケ積分を用いて能力で測定された信念関数の期待効用を表すことは、エルズバーグのパラドックスとアレのパラドックスを調和させる方法である。^{[4] [5]}

次の表記法が使用されます。

• ${\displaystyle S}$– セット。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$– のサブセットのコレクション。${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$– 関数。
• ${\displaystyle \nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}}$– 単調な集合関数。

が に関して測定可能であると仮定すると、${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}}$

に対するのショケ積分は次のように定義されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx}$

ここで、右辺の積分は通常のリーマン積分です（被積分関数は で単調であるため積分可能です）。 ${\displaystyle x}$

一般にショケ積分は加法性を満たさない。より具体的には、が確率測度でない場合、 ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .}$

いくつかの関数および。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ショケ積分は以下の性質を満たします。

もしそうなら ${\displaystyle f\leq g}$

${\displaystyle (C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu }$

それ は${\displaystyle \lambda \geq 0}$

${\displaystyle (C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,}$

が共単調関数である場合、すなわち、 ${\displaystyle f,g:S\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle s,s'\in S}$

${\displaystyle (f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))\geq 0}$。

これは上昇と下降が一緒になっていると考えることができる${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

それから

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .}$

が2交代である場合、[ 説明^が必要]${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .}$

が2単調である場合、 ^{[説明が必要]}${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .}$

が積分可能な累積分布関数を表すとします。次の式はショケ積分と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{-1}}$${\displaystyle dH}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,}$

どこ。 ${\displaystyle {\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}$

• 取得することを選択します、${\displaystyle H(x):=x}$${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E[X]}$
• 取得することを選択する${\displaystyle H(x):=1_{[\alpha ,x]}}$${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )}$

ショケ積分は画像処理、ビデオ処理、コンピュータビジョンに応用されています。行動決定理論では、エイモス・トヴェルスキーとダニエル・カーネマンが累積的見通し理論の定式化にショケ積分と関連手法を使用しています。^[6]

• 非線形期待
• 超加法性
• 劣加法性

• Gilboa, I.; Schmeidler, D. (1994). 「非加法的な尺度の加法的な表現とショケ積分」Annals of Operations Research . 52 : 43–65. doi :10.1007/BF02032160.
• Even, Y.; Lehrer, E. (2014). 「分解積分: ショケ積分と凹積分の統合」.経済理論. 56 (1): 33–58. doi :10.1007/s00199-013-0780-0. MR  3190759. S2CID  1639979.