エリス排水口

エリスドレインホールは、通過可能なワームホールの最も古い完全な数学モデルとして知られています。これは、アインシュタインの真空場方程式の静的で球対称な解であり、結合極性が正の極性とは反対 (正ではなく負) である、時空の幾何学に最小限に結合したスカラー場を追加することで拡張されています。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {R} }\,g_{\mu \nu }=-2\ ,\left(\phi _{,\mu }\phi _{,\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}\phi ^{,\kappa }\phi _{,\kappa }\,g_{\mu \nu }\right)\,.}$

この解は、1969年（最初の提出日）にHomer G. Ellis ^{[1] [a]}によって、またほぼ同時期にKirill A. Bronnikov ^[2]によって独立に 発見された。Bronnikovは、解の位相の2次元類似体は1枚の双曲面であり、反正統的結合極性を使用することによってのみ、そのような位相を持つ解が得られることを指摘した。エリスは、重力を受ける素粒子のシュワルツシルト模型の非特異な代替物を見つけることを動機としており、反正統的極性のみが適切であることを示したが、Bronnikovと同様に、どちらの極性に対してもすべての解を見つけた。彼は、反正統的極性の解多様体の幾何学をかなり詳細に研究し、それが

• 2つの漸近的に平坦な3次元領域が2つの球面（「排水口」）で結合されて構成されている。
• 特異点のない、
• 一方的な事象の地平線が存在しない、
• 測地学的に完全
• 排水口の片側では重力的に引き合い、もう片側ではより強い反発力がある。
• 彼は時間的ベクトル場を備え、
  引力側の無限遠の静止から排水口に流れ込み、斥力
  側の無限遠まで流れ出る「エーテル」の速度場として解釈し、ずっと加速することで重力を「作り出す」（または反応する）と解釈した。
• 光子とテスト粒子がどちらの方向にも排水孔を通過可能。

シェトゥアニとクレマンの論文では、エーテルが流れず重力もない排水孔の特殊なケースに「エリス幾何学」という名前が付けられており、クレマンの編集者への手紙でも同様の名前が付けられている。^{[3] [4]この特殊なケースは「}エリスワームホール」 と呼ばれることが多い。本格的な排水孔が、典型的な通過可能なワームホールとしての役割を担っていると考えられる場合、エリスの名前と並んでブロニコフの名前が付けられる。

上下に重なった 2 つのユークリッド平面を想像してください。同じ半径の 2 つの円を上下に選び、それらの内部を取り除きます。次に、円の部分で外側を接着し、接着部分に鋭いエッジができないように外側を滑らかに曲げます。注意深く行えば、右に示すカテノイド か、それに似た形状になります。次に、上部と下部の連結された空間全体が、渦を巻くことなく上から穴に流れ込み、下側から流れ出る流体で満たされている様子を想像してください。流体はずっと速度を増し、下側領域が、図 1 で見られるよりも円錐形に曲がっています。 この映画をフラット スクリーンから 3D にステップアップし、平面をユークリッドの 3 次元空間に、円を球に置き換え、流体があらゆる方向から上から穴に流れ込み、方向を変えずに下から流れ出る様子を想像すると、「排水口」がどのようなものかかなりよくわかるでしょう。排水口を空間時間多様体として技術的に記述したものは、1973年に発表された空間時間計量によって提供される。^{[1] [2]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

1973年にエリスが提示した排水口のメトリックソリューションは、固有時間形式（明示された存在を含む） を持っています。${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f(\rho )\,c\,dt]^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f^{2}(\rho )\right]\,c^{2}dT^{2}-{\frac {1}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\end{aligned}}\,,}$

どこでそして${\displaystyle \;\;d\Omega ^{2}=d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}d\varphi ^{2}\;\;}$${\displaystyle \;\;T=t+{\displaystyle {\frac {1}{c}}\!\int \!\!\!{\frac {f(\rho )}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho \,.}}$

解は2つのパラメータ、およびに依存し、不等式を満たすが、それ以外は制約されない。これらに関して、関数およびは次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq m<n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(\rho )=-{\sqrt {1-e^{-(2\,m/n)\phi }}}}$

そして

${\displaystyle r(\rho )=\textstyle {\sqrt {(\rho -m)^{2}+a^{2}}}}$${\displaystyle e^{(m/n)\phi }={\sqrt {\frac {(\rho -m)^{2}+a^{2}}{1-f^{2}(\rho )}}}\,,}$

その中で

${\displaystyle \phi =\alpha (\rho )={\frac {n}{a}}\left[{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}\left({\frac {\rho -m}{a}}\right)\right]}$ そして${\displaystyle \;a={\sqrt {n^{2}-m^{2}}}.}$

座標範囲は

${\displaystyle -\infty <t\,,T<\infty \,,\;\,-\infty <\rho <\infty \,,\;\;0<\vartheta <\pi \,,\; \;}$そして${\displaystyle \;\,-\pi <\varphi <\pi \,.}$

（シュワルツシルト解との比較を容易にするために、元の解の は に置き換えられている） ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho -m.}$

漸近的に、 ${\displaystyle \rho \to \infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n/\rho \,,\;\;r(\rho )\sim \rho \,,\;\;f(\rho )\sim -{\sqrt {2m/\rho }}\,,\;\;}$そして${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \,.}$

これらは、排水口メトリックとシュワルツシルトメトリックを比較すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f_{\text{S}}(\rho )\,c\,dt]^{2}-r_{\text{S}}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )\right]\,c^{2}\,dT^{2}-{\frac {1}{1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r_{S}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\,,\end{aligned}}}$

ここで、部分的に（）幾何化された単位では、 ${\displaystyle G=c}$

${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho \,,\;\;f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,,\;\;}$そして${\displaystyle \;\;f_{\text{S}}^{2}(\rho )=2M/\rho \,,}$

パラメータはシュワルツシルト質量パラメータのドレインホールの類似物である。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

一方、 ${\displaystyle \rho \to -\infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n\pi /a\,,\;\;r(\rho )\sim -\rho e^{m\pi /a}\,,\;\;}$そして${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 1-e^{-2m\pi /a}\,.}$

以下ののグラフは、これらの漸近挙動と、（ここでシュワルツシルト計量には、 の外部と のブラックホール内部を分ける悪名高い一方通行の事象の地平線がある） に対応して、が正の最小値に達し、その値で「上部」領域（）がより広々とした「下部」領域（ ）に広がるという事実を示しています。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho =2M}$${\displaystyle \rho >2M}$${\displaystyle \rho <2M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho =2m}$${\displaystyle \rho >2m}$${\displaystyle \rho <2m}$

ベクトル場は、固有時間によってパラメータ化された放射状測地線を生成し、これは測地線に沿った座標時間と一致する。 ${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t}$

のグラフから推測できるように、これらの測地線のいずれかをたどる試験粒子は、で静止状態からスタートし、排水口に向かって下向きに落下しながらずっと速度を増し、排水口を通過して下部領域に出て、下向きに速度を増し、で到着します。 ${\displaystyle f^{2}}$${\displaystyle \rho =\infty ,}$${\displaystyle \rho =-\infty }$

${\displaystyle \mathrm {speed} =c|f(-\infty )|=c{\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}<c.}$

問題のベクトル場は、多かれ少なかれ、時空全体に浸透している実質的な「エーテル」の速度場であると考えられています。このエーテルは一般に「電磁波の伝播のための単なる不活性媒体以上のものです。それは、内部の相対的な動きが重力として現れる、落ち着きのない流動的な連続体です。質量粒子は、この流動するエーテルの源またはシンクとして現れます。」^[1]

一般に時間的測地線の場合、動径方向の運動方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{d\tau ^{2}}}&=-\left({\frac {f^{2}}{2}}\right)^{\mathbf {\prime } }(\rho )+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\\&=-{\frac {m}{r^{2}(\rho )}}+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

このことから、

• それは、重力の下向きの引力を生み出す項で測定されるエーテルの流れの「伸張」である。${\displaystyle -(f^{2}/2)'(\rho )}$
• 排水口から落ちるほど軌道が下がるすべての試験粒子は、${\displaystyle \rho =3m}$
• 下向きの引力と釣り合うのに十分な角速度を持つ試験粒子が存在する ため、その軌道（特に円形のもの）は、上部の領域の一部に限定される。${\displaystyle |d\Omega /d\tau |}$${\displaystyle \rho >3m}$
• 下向きの引力は、上部領域では排水口に向かう加速、つまり引力重力を生み出すが、下部領域では排水口から離れる加速、つまり斥力重力を生み出す。
• 下向きの引力は、 が最小値、つまり排水口の「喉部」で最大となり、${\displaystyle r(\rho )}$${\displaystyle \rho =2m}$
• テスト粒子が空間のどこにでも静止している場合（ ）。 （これはエリスワームホールとして知られる無重力の排水孔の特殊なケースです。）${\displaystyle m=0,}$${\displaystyle d\rho /d\tau =d\Omega /d\tau =0}$

放射運動方程式から、上部領域の任意の点から放射速度 ( ) なしで出発したテスト粒子は、十分な角速度 がなければ 、排水口を通って下部領域に落下することは明らかです。それほど明確ではありませんが、下部領域の点から出発したテスト粒子は、十分な上向きの速度で排水口を通過して上部領域に入ることができることは事実です。したがって、排水口はテスト粒子が両方向に「通過可能」です。同じことは光子にも当てはまります。 ${\displaystyle d\rho /d\tau =0}$${\displaystyle d\Omega /d\tau }$

排水口の測地線の完全なカタログはエリスの論文に掲載されています。^[1]

排水孔計量の一般形の計量で、流れるエーテルの速度場が である場合、放射状ヌル測地線の座標速度は、エーテルの流れに逆らって進む光波の場合は 、流れに沿って進む光波の場合はであることが分かります。となる場所ではどこでも、エーテルの流れに逆らって進む光波は勢いを増すことができます。一方、上流の光波がせいぜい持ちこたえられる場所 ( の場合) では、さもなければエーテルが向かう下流に流されます ( の場合)。(この状況は、「軽いカヌーに乗っている人はエーテルの急流を避けるべきだ」というジョークで表現されています。^[1] ) ${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$${\displaystyle d\rho /dt}$${\displaystyle c(f(\rho )+1)}$${\displaystyle c(f(\rho )-1)}$${\displaystyle f(\rho )>-1}$${\displaystyle c(f(\rho )+1)>0}$${\displaystyle f(\rho )\leq -1}$${\displaystyle f(\rho )=-1}$${\displaystyle f(\rho )<-1}$

後者の状況はシュワルツシルト計量で見られ、はシュワルツシルト事象の地平線 では であり、の地平線の内側ではよりも小さくなります。 ${\displaystyle \textstyle f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho =2M}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \rho <2M}$

対照的に、排水口とでは、 のあらゆる値に対して、エーテルの流れに逆らって奮闘する光波が一方側で勢力を獲得できない地平線はどこにも存在しません。 ${\displaystyle \textstyle f^{2}(\rho )<1-e^{-2m\pi /a}<1}$${\displaystyle \textstyle f(\rho )=-\left[f^{2}(\rho )\right]^{1/2}>-1}$${\displaystyle \rho }$

なぜなら

• ${\displaystyle r}$および実数直線全体上で定義され、${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle r}$は からによって制限される）、そして${\displaystyle 0}$${\displaystyle r(2m)}$
• ${\displaystyle f^{2}}$は から（ によって）離れている、${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}}$

ドレインホール計量は、 の「座標特異点」も の「幾何学的特異点」も含みません。漸近的なものさえも含みません。同じ理由で、非束縛軌道を持つすべての測地線、および何らかの追加の引数を持つ束縛軌道を持つすべての測地線には、パラメータがからまで拡張されるアフィンパラメータ化があります。したがって、ドレインホール多様体は測地的に完全 です。 ${\displaystyle 1-f^{2}(\rho )\to 0}$${\displaystyle r(\rho )\to 0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

前に見たように、エーテル流の伸張により、上部領域でテスト粒子の下向きの加速が発生し、 とともに、非局在化ドレインホール粒子の引力重力質量として識別されます。 下部領域では、下向きの加速は形式的には同じですが、としてではなくに漸近するため、ドレインホール粒子の反発重力質量が であると推論することはできません。 ${\displaystyle -m/r^{2}(\rho )}$${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r(\rho )}$${\displaystyle -\rho e^{m\pi /a}}$${\displaystyle -\rho }$${\displaystyle \rho \to -\infty }$${\displaystyle -m}$

排水孔の反発質量を知るには、上部と下部の領域を交換する排水孔多様体の等長性を見つける必要がある。このような等長性は次のように記述できる。 は、パラメータがおよびである排水孔多様体を表し、 は、パラメータがおよびである排水孔多様体を表す。ここで、 ${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle {\bar {m}}}$${\displaystyle {\bar {n}}}$

${\displaystyle {\bar {m}}=-me^{m\pi /a}}$

そして

${\displaystyle \;\;{\bar {n}}=ne^{m\pi /a}.}$

等長変換は、座標を持つ点と座標を持つ点を同一視します。このことから、と は実際には同じ多様体であり、 の上部領域に偽装された下部領域は、の重力質量として、したがって、真の上部領域がテスト粒子を引き付けるよりも強く重力で反発し、その比率は であることが推測されます。 ${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle [T,\rho ,\vartheta ,\varphi ]}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle [{\bar {T}},{\bar {\rho }},{\bar {\vartheta }},{\bar {\varphi }}]=[Te^{-m\pi /a},-\rho e^{m\pi /a},\vartheta ,\varphi ]}$${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle \rho \to -\infty ,}$${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$${\displaystyle {\bar {m}}}$${\displaystyle \,|{\bar {m}}|/|m|=-{\bar {m}}/m=e^{m\pi /a}>1}$

漸近挙動からわかるように、排水口は漸近的に平坦です。また、前述の と間の等長変換後の対応する挙動からわかるように、排水口は漸近的に平坦です。${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$${\displaystyle f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \sim 0.}$${\displaystyle \rho \to -\infty }$${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$

排水孔の重力による引力として解釈されるパラメータ とは異なり、パラメータには明らかな物理的解釈がありません。本質的には、のときからのときまで増加する排水孔の喉部の半径と、 のときからのときまで減少するスカラー場のエネルギーの両方を固定します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r(2m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle ne}$${\displaystyle m\to n,}$${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle n\pi /2}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle m\to n}$

2015年の論文の6.1節で述べられている理由から、^[5]エリスは、排水孔によってモデル化された粒子の慣性質量を何らかの方法で指定することを示唆しています。彼はさらに、「この考えを表現する『ヒッグス的』な方法は、排水孔がスカラー場から（慣性）質量を『獲得する』と言うことである」と書いています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi }$

エリスは、慣性質量が重力の源であるという、1916 年のアインシュタインの不当な仮定を否定することで、新しい改良された場の方程式に到達しました。その解は、1998 年に宇宙の膨張の加速を明らかにした超新星の観測によく適合する宇宙モデルです。^[5] これらの方程式には、反対の極性を持つ、時空幾何学に最小限に結合した 2 つのスカラー場があります。「宇宙定数」は、原始的な排水口「トンネル」の存在と、引力よりも反発力が勝る新しいトンネルの継続的な生成に起因する、重力物質の正味の反発密度に置き換えられます。目に見える物質の粒子に関連する排水口トンネルは重力を提供します。目に見える物質に関連しないものは、目に見えない「暗黒物質」です。「暗黒エネルギー」は、すべての排水口トンネルの正味の反発密度です。宇宙論モデルでは、 「ビッグバン」の代わりに「ビッグバウンス」が起こり、バウンスからインフレーション加速が起こり、減速惰性走行の時代へとスムーズに移行し、最終的に ド・ジッターのような指数関数的膨張に戻るとされている。 ${\displaystyle \Lambda }$

• エリスワームホールは、2014年の映画「インターステラー」に登場する通過可能なワームホールを構築するための出発点となった（ただし、最終的に使用されたモデルは大きく異なっていた）。^[6]
• エリスワームホールによる散乱^[7]
• エリスワームホールにおける 空間レンズ効果（重力がないので重力レンズ効果ではない）
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果^[8]
  • エリスワームホールによるレンズ効果の波動効果^[9]
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果による画像重心の変位^[10]
  • エリスワームホールの正確なレンズ方程式^[11]
  • ワームホールによるレンズ効果^{[12] [13]}