エリスワームホール

エリスワームホールは、エリス ドレインホールの特殊なケースで、「エーテル」は流れておらず、重力もありません。残っているのは、2 つの球面、つまりワームホールの「喉」で結合された、一対の同一の双子の非平坦な 3 次元領域で構成される、純粋に通過可能なワームホールです。示されている画像に見られるように、ワームホールの 2 次元赤道断面は、喉から遠く離れたところで漸近的に平坦なカテノイドの「襟」です。重力が働いていないため、慣性観測者(テスト粒子) は空間のどの点でも永久に静止したままでいることができますが、何らかの外乱によって動かされると、光子と同様に、赤道断面の測地線に沿って一定速度で移動します。この現象は、時空において空間の曲率は重力 (「時間の曲率」とも言える) とは何の関係もないことを示しています。

エリス排水孔の特殊なケースであるエリス排水孔は、それ自体が「通過可能なワームホール」であり、1969年（最初の提出日）にHGエリス^[1]によって排水孔が発見され 、ほぼ同時期にKAブロニコフ^{[2]によって独立して発見された。}

エリスとブロニコフは、アインシュタインの真空場方程式の解として、正統な極性とは反対の極性（正ではなく負）を持つ時空の形状に最小限に結合したスカラー場を追加することで、元の通過可能なワームホールを導きました。数年後、M. S. モリスとKS ソーンは、一般相対性理論の教材として使うためにエリス ワームホールの複製を製作し、^[3] そのようなワームホールの存在には「負のエネルギー」の存在が必要であると主張しました。エリスはこの観点を考慮しましたが、その議論は説得力がないとして明確に受け入れることを拒否しました。^[1]${\displaystyle \phi}$

ワームホール計量は固有時間形式を持つ

${\displaystyle c^{2}d\tau^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma^{2}\,,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma ^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,\left[d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right]\;\;\end{aligned}}}$

は、エリスのドレインホール解のパラメータを 0 に設定してエーテルの流れを止め、重力を排除した後も残るドレインホールパラメータです。さらに進んで を 0 に設定すると、メトリックはミンコフスキー時空、つまり特殊相対性理論の平坦な時空のメトリックになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

ミンコフスキー時空では、あらゆる時間的測地線とあらゆる光的（ヌル）測地線は、例えば、 および の測地線のような定数 の時間スライスの赤道断面の直線測地線に投影される直線の「世界線」であり、その測地線は極座標 のユークリッド二次元空間の測地線であり、すなわち、 ${\displaystyle t,}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$${\displaystyle [\rho ,\varphi ]}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

すべてのテスト粒子または光子は、固定座標速度でこのような赤道測地線に沿って進むように見えますが、ミンコフスキー時空には重力場が組み込まれていないため、その速度は 0 になることもあります。ミンコフスキー時空のこれらの特性はすべて、エリス ワームホールに対応していますが、ワームホールの赤道断面の計量と測地線は直線ではなく、断面内の「可能な限り最もまっすぐな」経路であるという事実によって修正されています。したがって、これらの赤道測地線がどのように見えるかを確認することは興味深いことです。

によって定義されるワームホールの赤道断面（このような断面の代表）は、メトリックを持ちます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho^{2}+\left(\rho^{2}+n^{2}\right)\,d\varphi^{2}\,.}$

この計量による断面がユークリッド三次元空間に埋め込まれると、そのイメージは上に示したカテノイドとなり、半径の喉部の中心円から までの距離をが固定された曲線に沿って測定します(1 つを示しています)。円筒座標では、この方程式のグラフは次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle [r,\varphi ,z]}$${\displaystyle r=n\cosh(z/n)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

いくつかの積分と代入の後、によってパラメータ化された測地線の方程式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {h}{\rho ^{2}+n^{2}}}}$

そして

${\displaystyle \left({\frac {d\rho }{ds}}\right)^{2}+{\frac {h^{2}}{\rho ^{2}+n^{2}}}\,=1,}$

ここで は定数です。 の場合はで あり、逆もまた同様です。したがって、すべての「緯度円」（定数）は測地線です。一方 がまったく0でない場合は、そのゼロは分離され、簡約された方程式を組み合わせて軌道方程式を得ることができます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle d\rho /ds\equiv 0\,,}$${\displaystyle h^{2}=\rho^{2}+n^{2}\geq n^{2}\,,}$ ${\displaystyle \textstyle d\varphi /ds=1/h,}$${\displaystyle \textstyle \rho =\pm {\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,,}$${\displaystyle \rho =}$${\displaystyle d\rho /ds}$

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d\rho }}\right)^{2}={\frac {h^{2}}{\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\left(\rho ^{2}+n^{2}-h^{2}\right)}}\,.}$

考慮すべきケースは 3 つあります。

• ${\displaystyle h^{2}>n^{2},}$これは、測地線がワームホールの片側または反対側に限定され、またはに転換点があることを意味します。${\displaystyle \rho^{2}\geq h^{2}-n^{2}>0,}$${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {h^{2}-n^{2}}}}$${\displaystyle \textstyle \rho =-{\sqrt {h^{2}-n^{2}}}\,;}$
• ${\displaystyle h^{2}=n^{2},}$これは、測地線が喉部を横切るのではなく、どちらかの側から喉部に向かって螺旋状に伸びることを意味します。${\displaystyle \rho ^{2}>0,}$${\displaystyle \rho =0,}$
• ${\displaystyle h^{2},}$これにより、測地線はワームホールをどちらの側からでも反対側まで通過できるようになります。

図は 3 つのタイプの例を示しています。 が から まで変化することが許される場合、各タイプで可能な軌道回転数は、緯度を含めて無制限です。 1 番目と 3 番目のタイプではその数は無限大に増加しますが、らせん型と緯度ではその数はすでに無限大です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty,}$${\displaystyle h^{2}\to n^{2};}$

これらの測地線がワームホールの周囲で曲がるということは、重力の助けなしに空間の曲率だけでテスト粒子と光子が直線から大きく外れた経路をたどり、レンズ効果を生み出す可能性があることを明確に示しています。

エリスワームホールの動的バージョンは、静的エリスワームホールと同じ場の方程式の解である。^[4] その計量は

${\displaystyle c^{2}d\tau^{2}=c^{2}dt^{2}-d\sigma^{2}\,,}$

どこ

${\displaystyle d\sigma ^{2}=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\Omega ^{2}\,,}$

${\displaystyle a}$は正の定数です。 には「点特異点」がありますが、それ以外の場所では計量は正則で曲率は有限です。点特異点に遭遇しない測地線は完全です。点特異点に遭遇する測地線は、反対の時間方向から特異点に遭遇し、互換性のある接線を持つ測地線のいずれかに沿って進むことで、点特異点を超えて拡張できます (原点で特異点に遭遇する のグラフの測地線と同様)。 ${\displaystyle t=\rho =0,}$${\displaystyle z=(xy)^{3}}$

メトリックを持つ 赤道断面積の固定された非ゼロ値に対して${\displaystyle t}$${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=d\rho ^{2}+r^{2}(t,\rho )\,d\varphi ^{2}\\&=d\rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\varphi ^{2}\,.\end{aligned}}}$

このメトリックは、静的ワームホールの赤道カテノイドに似た「ハイパーカテノイド」を表します。ただし、喉部の半径 ( ) は に置き換えられ、一般に測地半径 の緯度の各円は円周半径 を持ちます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho =0}$${\displaystyle ac|t|,}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )={\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}}$

赤道断面積 の測定単位は${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \vartheta =\pi /2}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

これは、特異点に頂点を持ち、円周が測地線半径の緯度円である「超円錐」を表します。カテノイド とは異なり、超カテノイドも超円錐もユークリッド 3 次元空間で表面として完全に表現することはできません。そのように埋め込むことができるのは、 の部分(つまりまたは同等の) だけです。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \textstyle 2\pi r(0,\rho )=2\pi {\sqrt {1+a^{2}}}\rho \,.}$${\displaystyle \textstyle |dr(t,\rho )/d\rho |=(1+a^{2})|\rho |{\big /}{\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}\leq 1}$${\displaystyle \textstyle |\rho |\leq c|t|{\big /}{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle \textstyle r(t,\rho )\leq {\sqrt {1+a^{2}}}c|t|}$

力学的には、からに進むにつれて、赤道断面積は無限半径のハイパーカテノイドからハイパーコーン（半径ゼロのハイパーカテノイド）に縮小し、その後無限半径のハイパーカテノイドに戻ります。曲率テンソルを調べると、完全な動的エリス ワームホール時空多様体は、時間的、光的、空間的のすべての方向で漸近的に平坦であることがわかります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle t=0,}$${\displaystyle -}$

• エリスワームホールによる散乱^[5]
• エリスワームホールにおける 重力レンズ効果
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果^[6]
  • エリスワームホールによるレンズ効果の波動効果^[7]
  • エリスワームホールによるマイクロレンズ効果による画像重心の変位^[8]
  • エリスワームホールの正確なレンズ方程式^[9]
  • ワームホールによるレンズ効果^{[10] [11]}