効果代数

効果代数は、量子力学で観測できるイベントの（部分的な）代数的特性を抽象化する部分代数です。効果代数と同等の構造は、1980年代後半から1990年代前半にかけて、理論物理学または数学の3つの異なる研究グループによって導入されました。それ以来、その数学的特性と物理的および計算上の重要性は、理論物理学、数学、コンピューターサイエンスの研究者によって研究されてきました。

1989 年、Giuntini と Greuling は、発生確率が厳密に 0 と 1 の間である量子イベント(したがって二者択一のイベントではない)を意味するアンシャープ特性を研究するための構造を導入しました。 ^{[1] [2]} 1994 年、Chovanec と Kôpka は、部分的に定義された差分演算を持つポセットとしてD-ポセットを導入しました。^[3]同年、Bennet とFoulisによる論文「効果代数とアンシャープ量子論理」が発表されました。^[4]この最後の論文で初めて効果代数という用語が使用されましたが、^[5] 3 つの構造はすべて同等であることが示されました。^[2] D-ポセットと効果代数のカテゴリの同型性の証明は、たとえば Dvurecenskij と Pulmannova によって提供されています。^[6]

量子力学に対する操作的アプローチは、観測可能な（実験的な）結果の集合を物理システムの構成概念とみなします。つまり、物理システムは発生する可能性があり、したがって現実に測定可能な影響を及ぼす可能性のあるイベントの集合として見なされます。このようなイベントは効果と呼ばれます。^[7]この観点では、システムを記述する数学的構造にすでにいくつかの制約が課されています。つまり、各効果に確率を関連付けることができる必要があります。

ヒルベルト空間形式では、効果は、次の半順序で恒等演算子より下にある、半正定値 自己随伴演算子に対応します。 が半正定値である場合に限ります。^[5]半正定値であるという条件は、期待値が非負であることを保証し、恒等演算子より下にあることは確率をもたらします。ここで、 のヒルベルト空間効果に対する 2 つの操作を定義できます。 および の場合、であり、は恒等演算子を表します。 は半正定値であり、であるため より下にあることに注意し、したがって常に定義されます。 はの否定と考えることができます。 は常に半正定値ですが、すべてのペアに対して定義されているわけではありません。定義のドメインを、和が恒等演算子より下に留まる効果のペアに制限する必要があります。このようなペアは直交 と呼ばれ、直交性は観測可能な同時測定可能性を反映しています。 ${\displaystyle A\leq B}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle A':=IA}$${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle A+B\leq I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A+B}$

効果代数は、集合、 内の定数、、全単項演算、二項関係、および二項演算から構成される部分代数であり、すべての に対して次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle ':E\rightarrow E}$ ${\displaystyle \bot \subseteq E\times E}$ ${\displaystyle \oplus :\bot \rightarrow E}$${\displaystyle a,b,c\in E}$

• 可換性: ならば、かつ、${\displaystyle a\perp b}$${\displaystyle b\perp a}$${\displaystyle a\oplus b=b\oplus a}$
• 結合性:およびならば、およびならびに${\displaystyle a\perp b}$${\displaystyle (a\oplus b)\perp c}$${\displaystyle b\perp c}$${\displaystyle a\perp (b\oplus c)}$${\displaystyle (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c),}$
• オルト補足法:かつ であり、 となる場合、${\displaystyle a\perp a'}$${\displaystyle a\oplus a'=1}$${\displaystyle a\perp b}$${\displaystyle a\oplus b=1}$${\displaystyle b=a'}$
• ゼロワン法則：ならば、。^[4]${\displaystyle a\perp 1}$${\displaystyle a=0}$

単項演算はの直交補足と の直交補足と呼ばれます。の定義域は上の直交関係と呼ばれ、 の場合にのみは直交していると呼ばれます。 この演算は直交和または単に和と呼ばれます。^[4]${\displaystyle '}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \bot}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle E}$${\displaystyle a,b\in E}$${\displaystyle a\perp b}$${\displaystyle \oplus}$

効果代数の任意の要素とに対して、 を仮定して以下を示すことができます。 ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\perp b,c}$

• ${\displaystyle a''=a}$、
• ${\displaystyle 0'=1}$、
• ${\displaystyle a\perp 0}$、 そして、${\displaystyle a\oplus 0=a}$
• ${\displaystyle a\oplus b=0}$暗示する、${\displaystyle a=b=0}$
• ${\displaystyle a\oplus b=a\oplus c}$を意味する。^[4]${\displaystyle b=c}$

すべての効果代数は次のように半順序付けられます:かつ となる が存在する場合、かつその場合に限ります。この半順序は次を満たします: ${\displaystyle E}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c\in E}$${\displaystyle a\perp c}$${\displaystyle a\oplus c=b}$

• ${\displaystyle a\leq b}$の場合に限り、${\displaystyle b'\leq a'}$
• ${\displaystyle a\perp b}$場合、かつその場合に限ります。^[4]${\displaystyle a\leq b'}$

効果代数の定義における最後の公理が次のように置き換えられると、

• もし、ならば、${\displaystyle a\perp a}$${\displaystyle a=0}$

直交代数の定義が得られる。^[4]この公理は効果代数の最後の公理を意味するので（他の公理が存在する場合）、すべての直交代数は効果代数である。直交代数（したがって効果代数）の例には以下が含まれる。

• 否定を正則補充として、結合を互いに素な要素に限定して和とするブール代数、 ^[8]
• 正準モジュラーポセット、^[8]
• オルトモジュラー格子, ^[8]
• σ代数において、補完を正補充、和を分離元に制限した和とする^[9]
• ヒルベルト空間射影とオルト補足法、およびヒルベルト空間効果の場合と同様に定義された和。^[8]

任意のMV代数は、単項演算を直交補完、二項演算を直交元に制限した和として効果代数（一般には直交代数ではない）である。MV代数の文脈では、一対の元の直交性は次のように定義される。これは、MV代数を効果代数として見た場合の直交性と一致する。^[10]${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a'\oplus b'=1}$

MV 代数の重要な例として、演算および を含む単位区間 が挙げられます。効果代数として見ると、単位区間の 2 つの要素が直交するのは、かつ である場合のみです。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle a'=1-a}$${\displaystyle a\oplus b=\max(a+b,1)}$${\displaystyle a+b\leq 1}$${\displaystyle a\oplus b=a+b}$

ヒルベルト空間効果の例を少し一般化して、単位C*-代数 、つまり を満たす要素に対する効果の集合を取ります。 の加算演算はのとき、 と のとき定義されます。 正規補完は によって与えられます。^[11]${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$${\displaystyle a,b\in [0,1]_{\mathfrak {A}}}$${\displaystyle a+b\leq 1}$${\displaystyle a\oplus b=a+b}$${\displaystyle a'=1-a}$

研究されてきた効果代数にはさまざまな種類があります。

• ある順序付きアーベル群の区間として生じる区間効果代数。^[4]${\displaystyle [0,u]_{G}}$ ${\displaystyle G}$
• 凸効果代数は、実単位区間の作用を代数上に及ぼす。ガダーの表現定理は、これらすべてが実順序ベクトル空間の区間効果代数として生じることを示している。^[12]${\displaystyle [0,1]}$
• 秩序構造が格子を形成する格子効果代数。^[13]
• リース分解性質を満たす効果代数: ^[14] MV代数はまさにリース分解性質を持つ格子効果代数である。^[15]
• シーケンシャル効果代数には、C*代数上のLüders積をモデル化する追加のシーケンシャル積演算があります。^[16]
• 効果モノイドは効果代数のカテゴリ内のモノイドです。効果代数に結合的な単位分配乗算演算が追加されたものです。 ^[17]

効果代数から効果代数への射は、すべての${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$${\displaystyle f(1)=1}$${\displaystyle a,b\in E}$

${\displaystyle a\perp b}$を意味し、。^[4]${\displaystyle f(a)\perp f(b)}$${\displaystyle f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b)}$

すると、射影はオルト補足を保存することになります。

このような射を備えた効果代数は、次の特性を持つ カテゴリを形成します。

• ブール代数のカテゴリは効果代数のカテゴリの完全なサブカテゴリである。^[18]
• あらゆる効果代数は有限ブール代数の余極限である。 ^[18]

量子論の概念を表現するために効果代数がどのように使用されるかの例として、正の演算子値測度の定義は、次のように効果代数射によって表すことができます。をヒルベルト空間の効果代数とし、 をσ代数とします。正の演算子値測度(POVM) は、可算連鎖の結合を保存する効果代数射です。 POVM は、その像がヒルベルト空間 上の射影の直交代数に含まれるときに、まさに射影値測度です。^[9]${\displaystyle {\mathcal {E}}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma \rightarrow {\mathcal {E}}(H)}$${\displaystyle H}$

• nラボにおける効果代数