3 31 ハニカム

7次元幾何学において、3 ₃₁ハニカムは均一なハニカムであり、シュレーフリ記号{3,3,3,3 ^{3,1 } でも表され、} 3 ₂₁と7 単体の ファセットで構成され、各頂点の周りにはそれぞれ 56 と 576 のファセットがあります。

これは、7 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、6 単体ファセットが残ります。

長さ 3 のブランチの端にあるノードを削除すると、3 ₂₁ファセットが残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、2 ₃₁多面体が作成されます。

エッジ図形は、リングノードを削除し、隣接するノードをリング化することによって決定されます。これにより、6-デミキューブ( 1 ₃₁ )が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、修正5単体( 0 ₃₁ )が作成されます。

セル図形は、面図形の環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、四面体柱状体 {}×{​​3,3} が作成されます。

このタイル分割の各頂点は、7 次元で知られている最も高密度の 6 次元球面の中心です。その接吻数は126 で、頂点図 2 ₃₁の頂点で表されます。

3× ₃₁ハニカムの頂点配置はE7格子_と呼ばれます。^[1]

${\displaystyle {\チルダ {E}}_{7}}$は指数144のサブグループとして含む^。[2]と は両方とも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{7}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$${\displaystyle A_{7}}$

E _{7格子は、2つの A 7}格子の頂点の和集合として表現することもでき、A ₇ ²とも呼ばれます。

=∪

E ₇ ^*格子（E ₇ ²とも呼ばれる）[ ^3]は2倍の対称性を持ち、[[3,3 ^3,3 ]]で表される。E ₇ ^*格子のボロノイセルは1 ₃₂多面体であり、ボロノイ分割は1 ₃₃ハニカムである。^[4] E ₇ ^*格子は、コクセター図の各長枝から1つずつ、 E _{7格子の頂点の2つのコピーで構成され、4つのA 7} ^*格子（A ₇ ⁴とも呼ばれる）の和集合として構築できる。

∪=∪∪∪= の双対。

これは、コクセターによって3 _k1級数として表現された、均一な多面体とハニカムの次元級数です。 退化した 4 次元のケースは、3 球のタイリング、四面体細面体として存在します。

• 8-多面体
• 1 ₃₃ハニカム

• HSM Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築） 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• RT Worley、「E7* のボロノイ領域」、SIAM J. 離散数学、1.1 (1988)、134-141。
• Conway, John H. ; Sloane, Neil JA (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups ((第3版) ed.). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9。p124-125, 8.2 7次元格子: E7とE7*
• クリツィング、リチャード。 「7D ヘプタコム x3o3o3o3o3o3o *d3o - naquoh」。