正確な対角化

正確な対角化(ED) は、物理学で量子ハミルトニアンの固有状態とエネルギー固有値を決定するために使用される数値手法です。この手法では、離散有限システムのハミルトニアンが行列形式で表現され、コンピュータを使用して対角化されます。正確な対角化は、量子システムのサイズとともにヒルベルト空間次元が指数関数的に増加するため、数十個の粒子を含むシステムでのみ実行可能です。ハバードモデル、イジングモデル、ハイゼンベルグモデル、t - Jモデル、SYKモデルなどの格子モデルの研究に頻繁に使用されます。^{[1] [2]}

与えられたハミルトニアンの固有状態とエネルギーを決定した後、正確な対角化を使用して観測量の期待値を得ることができます。たとえば、が観測量である場合、その熱期待値は ${\displaystyle |n\rangle}$${\displaystyle \epsilon_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n|{\ mathcal {O}}|n\rangle ,}$

ここで、 はパーティション関数です。観測量を問題の初期基底に書き下ろすことができれば、この合計は固有状態の基底に変換した後に評価できます。 ${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}}$

グリーン関数も同様に評価できる。例えば、遅延グリーン関数は次のように書ける。 ${\displaystyle G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle }$

${\displaystyle G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\sum _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n}}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.}$

厳密な対角化は、クエンチ後のシステムの時間発展を決定するためにも使用できます。システムが初期状態 で準備され、その後、時間 が新しいハミルトニアン の下で発展するとします。時間 における状態は、 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle 。 }$

量子系を記述するヒルベルト空間の次元は、系のサイズとともに指数関数的に増加します。たとえば、固定された格子サイトに局在するスピンの系を考えてみましょう。各スピンの状態は、スピンアップとスピンダウンの重ね合わせとして記述でき、およびで示されるため、オンサイト基底の次元は 2 です。完全な系の次元は で、行列として表されるハミルトニアンはサイズ です。これは、正確な対角化では計算時間とメモリ要件が非常に不利に増加することを意味します。実際には、問題の対称性を利用したり、保存則を適用したり、スパース行列を使用したり、その他の手法を使用したりする ことで、メモリ要件を削減できます。${\displaystyle N}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle 2^{N}\times 2^{N}}$

正確な対角化は、有限システムに関する正確な情報を抽出するのに便利です。しかし、無限格子システムを理解するために小さなシステムを研究することがよくあります。対角化されたシステムが小さすぎると、その特性は熱力学的極限におけるシステムの特性を反映せず、シミュレーションは有限サイズ効果の影響を受けると言われています。

補助体モンテカルロ法などの他の正確な理論手法とは異なり、正確な対角化は、虚数時間ではなくリアルタイムでグリーン関数を直接求めます。これらの他の手法とは異なり、正確な対角化の結果は数値解析接続する必要はありません。数値解析接続は不適切で困難な最適化問題であるため、これは利点です。^[3]

• 動的平均場理論技術の不純物ソルバーとして使用できる。^[4]

• 有限サイズのスケーリングと組み合わせると、1次元横磁場イジングモデルの基底状態エネルギーと臨界指数を推定します。^[5]

• 反強磁性やスピン波速度など、磁場中の2次元ハイゼンベルク模型のさまざまな特性を研究する。 ^[6]

• 2次元ハバードモデルのドルーデ重みの研究。^[7]

• SYKモデルにおける時間順序外相関（OTOC）とスクランブルの研究。^[8]

• 強相関物質の共鳴X線スペクトルのシミュレーション。^[9]

量子ハミルトニアンの正確な対角化を実装するソフトウェア パッケージは数多く存在します。これらには、ALPS ^{[ permanent dead link ‍ ]}、DoQo、EdLib、edrixs、Quanty などがあります。

多数の小さなクラスターからの正確な対角化結果を組み合わせることで、数値リンククラスター展開を使用して熱力学的極限におけるシステムに関するより正確な情報を得ることができます。^[10]

• ランチョスアルゴリズム

• 量子シミュレーション/正確な対角化
• ALPS 完全対角化チュートリアル 2019-07-23 にWayback Machineでアーカイブされました
• E. Pavarini、E. Koch、S. Zhang (編) の「正確な対角化とランチョス法」: 実在する材料に対する多体法、Jülich 2019、ISBN 978-3-95806-400-3