数値繰り込み群

数値繰り込み群( NRG )は、量子不純物物理学が重要な役割を果たす特定の多体問題を解くために ケネス・ウィルソンによって考案された手法です。

数値くりこみ群は本質的に非摂動的な手順であり、もともとは近藤模型を解くために使用されていました。^[1]近藤模型は、金属伝導電子に結合する磁性スピン 1/2不純物のシステム(金に含まれる鉄不純物など) を記述する簡略化された理論モデルです。この問題は、摂動法が低エネルギーで機能しないため、理論的に取り組むのが非常に難しいことで有名です。しかし、ウィルソンは数値くりこみ群を使用して、近藤模型の基底状態がシングレット状態であることを初めて証明することができました。しかし、おそらくもっと重要なのは、くりこみ、不動点、くりこみ群フローの概念が凝縮物質理論の分野に導入されたことです。これにより、ウィルソンは 1982 年にノーベル賞を受賞しました。高温の「局所モーメント」領域と低温の「強結合」領域の両方を含む近藤模型の完全な動作は、数値くりこみ群によって表現されます。指数関数的に小さいエネルギースケール T _{K (単純な}摂動論からはアクセスできない) が低エネルギーでのすべての特性を支配し、抵抗率、熱力学、動力学などのすべての物理的観測量が普遍的なスケーリングを示すことが示されました。これは凝縮系物理学の多くの問題の特徴であり、特に量子不純物物理学の中心的なテーマです。 Kondo モデルの元の例では、不純物の局所モーメントは、有名なKondo 効果によって T _K未満では伝導電子によって完全に遮蔽されます。その有名な帰結の 1 つは、そのような材料は低温で抵抗率が最小値を示すことです。これは、標準フォノンの寄与のみに基づく期待に反して、温度とともに抵抗率が単調に減少すると予測されることです。

現実のシステムにおける局所モーメントの存在は、もちろん強い電子間相関を前提としている。アンダーソン不純物モデルは、電子間のオンサイトクーロン反発（スピンではなく）を持つ量子レベルを記述し、金属伝導電子とトンネル結合している。不純物の単独占有領域では、アンダーソンモデルから近藤モデルを導くことができるが、後者は電荷変動に関連する他の物理を含む。数値繰り込み群は、1980年にHRクリシュナムルシー ら^{[2]によってアンダーソンモデル（近藤物理と価数変動物理の両方を捉える）を扱うように拡張された。実際、それ以来、さまざまな重要な開発が行われており、包括的な現代のレビューがBullaら[3]}によってまとめられている。

数値繰り込み群は、繰り込み群手法の一例である反復手順です。

この手法は、まず伝導帯を対数区間 (フェルミエネルギーに近づくにつれて指数関数的に小さくなる区間) に分割することから成ります。各区間から 1 つの伝導帯状態が保持されます。これは、その区間のすべての状態の完全に対称的な組み合わせです。これで伝導帯は「対数的に離散化」されました。これで、ハミルトニアンはいわゆる線形チェーン形式に変換できるようになりました。線形チェーン形式では、不純物は 1 つの伝導帯状態のみに結合し、その状態は別の伝導帯状態 1 つに結合し、これがさらに結合します。重要なのは、これらの結合がチェーンに沿って指数関数的に減少するため、変換されたハミルトニアンは無限チェーン用ですが、有限長のチェーンを考慮しても有用な結果が得られるということです。

伝導帯の唯一の制限は、相互作用がないことです。最近の開発^[4]により、チャネル混合を伴う一般的なマルチチャネル伝導帯をウィルソン鎖にマッピングすることが可能になりました。ここでは、Python 実装を示します。

ハミルトニアンが線形チェーン形式になったら、反復プロセスを開始できます。まず、エネルギー レベルのいくつかの特徴的なセットを持つ孤立した不純物を検討します。次に、チェーンに最初の伝導帯軌道を追加することを検討します。これにより、孤立した不純物のエネルギー レベルが分割されます。次に、チェーンに沿ってさらに軌道を追加する効果を検討します。これにより、これまでに導出されたエネルギー レベルがさらに分割されます。チェーンに沿って結合が減少するため、チェーンに軌道を追加することで発生する連続的な分割が減少します。

特定の数の軌道が鎖に追加されると、その有限鎖のエネルギー レベルのセットが得られます。これは明らかに無限鎖の真のエネルギー レベルのセットではありませんが、次の温度範囲での真のセットに近いものです。軌道の追加によって生じるさらなる分裂は無視でき、この温度範囲で関連する分裂を説明するのに十分な軌道が鎖にあります。この結果、特定の長さの鎖に対して得られた結果は、特定の温度範囲でのみ有効であり、その範囲は鎖の長さが長くなるにつれてより低い温度に移動します。つまり、さまざまな鎖の長さでの結果を考慮することで、広い温度範囲にわたるシステムの挙動の図を構築できます。

有限長の線形チェーンのハミルトニアンは、有効ハミルトニアンの一例です。これは無限線形チェーン システムの完全なハミルトニアンではありませんが、特定の温度範囲では完全なハミルトニアンと同様の結果をもたらします。