六相

六次相は、 2 次元粒子システムにおける固体相と等方性液体相の中間にある物質の状態です。この相は、短距離の位置秩序と準長距離の配向 (6 倍) 秩序という 2 つの秩序パラメータによって特徴付けられます。より一般的には、六次相は、ネマチック相 (2 倍の配向秩序) と同様に、6 倍の配向秩序を含む相です。

これは流体相です。なぜなら、転位の解離によりせん断弾性率とヤング率がゼロになるからです。六回対称性のディレクターフィールドが存在するため、これは異方性相です。ディレクターフィールドの存在は、平面内にドリル加工やねじりに対する弾性率が存在することを意味し、これは通常、液晶との類似性からフレデリック・C・フランクにちなんでフランク定数と呼ばれます。この集合体は、より高い温度（またはより低い密度）で回位が解離した後、等方性液体になります（フランク定数はゼロになります）。したがって、六次相には転位は含まれますが、回位は含まれません。

i) 位置秩序を破壊し、ii) 配向秩序を破壊することによる 2 段階溶融の KTHNY 理論は、ジョン・マイケル・コステルリッツ、デイビッド・J・サウレス、バートランド・ハルペリン、デイビッド・ロバート・ネルソン、AP ヤングによって、2 次元の位相欠陥の解放に関する理論的研究で開発されました。2016年、コステルリッツとサウレスは、2Dでの溶融が位相欠陥によって媒介されるというアイデアにより、ノーベル物理学賞を受賞しました (ダンカン・ハルデインと共同)。ヘキサティック相は D. ネルソンと B. ハルペリンによって予測されましたが、3 次元には厳密な類似物はありません。

六次相は 2 つの秩序パラメータで記述することができ、並進秩序は短距離 (指数関数的減衰) であり、配向秩序は準長距離 (代数的減衰) です。

原子または粒子の位置がわかっている場合、逆格子空間の2次元密度関数に基づいて、場所 の格子サイトと場所 の間の距離の関数としての並進相関関数 を使用して並進順序を決定できます。 ${\displaystyle G_{\vec {G}}({\vec {R}})}$${\displaystyle {\vec {R}}}$${\displaystyle {\vec {0}}}$${\displaystyle \rho _{\vec {G}}({\vec {R}})=e^{i{\vec {G}}\cdot [{\vec {R}}+{\vec {u}}({\vec {R}})]}}$

${\displaystyle G_{\vec {G}}({\vec {R}})=\langle \rho _{\vec {G}}({\vec {R}})\cdot \rho _{\vec {G}}^{\ast }({\vec {0}})\rangle }$

ベクトルは 結晶内の格子位置を指し、そこでは原子は熱運動によって振幅で変動することができます。 はフーリエ空間の逆ベクトルです。括弧は距離 R のすべての原子ペアに関する統計平均を示します。 ${\displaystyle {\vec {R}}}$${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {R}})}$${\displaystyle {\vec {G}}}$

六相では、並進相関関数は急速に、すなわち指数関数的に減少します。2D 結晶では、並進秩序は準長距離であり、相関関数はむしろゆっくりと、すなわち代数的に減少します。メルミン・ワグナー定理により、 T=0 を超える温度では変位がシステム サイズとともに対数的に発散するため、3 次元の場合のように完全な長距離にはなりません。 ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {R}})}$

並進相関関数の欠点は、厳密に言えば結晶内でのみ明確に定義されていることです。等方性流体では遅くとも回位が存在し、逆格子ベクトルはもはや定義されません。

配向秩序は、6 倍空間で最も近い近傍との結合によって与えられる角度を最も近い近傍の数で正規化した 場合、場所 にある粒子の局所ディレクター フィールドによって決定できます。${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$${\displaystyle \theta _{ij}}$${\displaystyle N_{i}}$

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}}_{i})={\frac {1}{N_{i}}}\sum _{j=1}^{N_{i}}e^{i6\theta _{ij}}}$

${\displaystyle \Psi }$は複素数の大きさで、6 倍のディレクターの方向は位相によって与えられます。六方晶では、これは結晶軸に他なりません。局所ディレクター フィールドは、転位と回位によって与えられる 5 つまたは 7 つの最近傍粒子を持つ粒子では、熱運動による小さな寄与を除いて消失します。離れた 2 つの粒子 i と k の間の方向相関関数は、局所ディレクター フィールドを使用して次のように定義されます。 ${\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|\leq 1}$${\displaystyle \Psi \sim 0}$${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{k}}$

${\displaystyle G_{6}({\vec {r}})=\langle \Psi ({\vec {r}}_{i})\cdot \Psi ^{\ast }({\vec {r}}_{k})\rangle }$

ここでも、括弧は距離 のすべての粒子ペアに関する統計的平均を示しています。3 つの熱力学相はすべて、この配向相関関数で識別できます。この関数は 2D 結晶では減衰せず、一定値 (図では青で表示) をとります。局所的なねじれに対する剛性は任意の大きさで、フランクス定数は無限大です。六方相では、相関はべき乗法則 (代数的) で減衰します。これにより、図では緑色で示されているように、log-log プロットで直線が得られます。等方相では、相関は指数関数的に急速に減衰します。これは、log-log プロットの赤い曲線です (lin-log プロットでは直線になります)。原子または粒子の離散構造により、半整数距離 での最小値によって示される相関関数が重ね合わされます。位置の相関が低い粒子は、そのディレクターの相関も低くなります。 ${\displaystyle |{\vec {r}}|=r}$${\displaystyle a}$

• XYモデル
• KTHNY理論
• コスターリッツ・サウレス転移

• M. コスターリッツによる 2016 年ノーベル賞講演

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