乗法デジタルルート

整数論では、与えられた基数における自然数の乗法デジタル根は、の数字を掛け合わせて、この操作を1桁だけが残るまで繰り返すことで求められ、これをの乗法デジタル根と呼びます。^{[1] [2]} 最初のいくつかの正の整数の乗法デジタル根は次のとおりです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、2、4、6、8、0、2、4、6、8、0、3、6、9、2、5、8、2、8、4、0。（OEISのシーケンスA031347 ）

乗法的デジタル根は、デジタル根の乗法的同等物です。

を自然数とします。基数の数字積を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

ここで はを底とする数の桁数であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は、数値の各桁の値です。自然数がの不動点である場合、その自然数は乗法デジタル根です。これは、 の場合に発生します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

例えば、基数 では、0は9876の乗法デジタル根であり、 ${\displaystyle b=10}$

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

すべての自然数は、底に関係なく、に対して前周期点となる。これは、 の 場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}} <d_{k-1}b^{k-1}} <\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}} = n}$

ならば、自明に ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

したがって、唯一の可能な乗法デジタル根は自然数であり、 の不動点以外に循環は存在しません。 ${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle 0\leq n<b}$

固定点に到達するのに必要な反復回数は、の乗法的持続性です。 が固定点に到達しない場合、乗法的持続性は未定義です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

10を基数とする数には、乗法的に持続する数は存在しないと推測されます。これは数については真であることが知られています。^{[3] [4]}持続する最小の数0、1、...は次のとおりです。 ${\displaystyle i>11}$${\displaystyle n\leq 10^{20585}}$

0、10、25、39、77、679、6788、68889、2677889、26888999、3778888999、277777788888899。（OEISのシーケンスA003001）

これらの数字の検索は、記録破りの数字の小数桁の追加の特性を利用することで高速化できます。これらの桁はソートする必要があり、最初の 2 桁を除いて、すべての桁が 7、8、または 9 でなければなりません。最初の 2 桁には追加の制約もあります。これらの制約に基づくと、記録破りの持続性を持つ 桁の数字の候補の数は の 2 乗に比例するだけであり、これはすべての可能な 桁の数字のごく一部です。ただし、上記のシーケンスにない数字は乗法的持続性が 11 より大きいため、そのような数字は存在しないと考えられており、存在する場合は 20,000 桁以上である必要があります。^[3]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

各整数を表すために符号付き数字表現を使用することで、乗法デジタル根を負の整数に拡張できます。

以下の例では、上記の定義で説明した数字の積を実装して、Pythonで乗法デジタル根と乗法持続性を検索します。

def  digit_product ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    if  x  ==  0 : 
        return  0 
    total  =  1 
    while  x  >  1 : 
        if  x  %  b  ==  0 : 
            return  0 
        if  x  %  b  >  1 : 
            total  =  total  *  ( x  %  b ) 
        x  =  x  //  b 
    return  total


def  multiplicative_digital_root ( x :  int ,  b  : int )  ->  int : 
    seen  =  [] 
    while  x  not  in  seen : 
        seen . append ( x ) 
        x  =  digit_product ( x ,  b ) 
    return  x


def  multiplicative_persistence ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    seen  =  [] 
    while  x  not  in  seen : 
        seen . append ( x ) 
        x  =  digit_product ( x ,  b ) 
    return  len ( seen )  -  1

• 算術ダイナミクス
• 数字の合計
• デジタルルート
• 和積数

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題(第 3 版)。Springer -Verlag。pp . 398–399。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​

• 277777788888899 の何が特別なのでしょうか? - Numberphile on YouTube (2019 年 3 月 21 日)