三進法

三進 法 （基数3または三進法^{[1]とも呼ば}れる）は、基数が3です。ビットと同様に、三進法の_数字はトリット（三進法の数字）です。1トリットはlog23  （約1.58496）ビットの情報に相当します。

三進法は、ほとんどの場合、3つの数字がすべて負でない数、具体的には0、1、2 であるシステムを指しますが、この形容詞は、比較論理や三進法コンピュータで使用される数字-1、 0 、 +1で構成される平衡三進法にもその名前を貸しています。

3進法での整数の表現は、2進法ほどすぐに不快なほど長くなりません。たとえば、 10進法の 365 ₍₁₀₎または6進法の 1 405 _{(6)は、2進法の}1 0110 1101 ₍₂₎ (9ビット) および3進法の111 112 ₍₃₎ (6桁)に対応します。ただし、これらは10進法などの基数での対応する表現に比べるとまだはるかに簡潔ではありません。3進法を9進法 (基数9) および72進法(基数27) を使用してコード化する簡潔な方法については、以下を参照してください。

有理数に関しては、三進法が表現するのに便利な方法を提供する。1/3⁠ は6 進数と同じです (10 進数では数字が無限に繰り返される煩雑な表現になります)。しかし、大きな欠点は、3 進数では⁠の有限表現が提供されないことです。1/2⁠（また、⁠1/4⁠、⁠1/8⁠など）、2 は基数の素因数 ではないため、10 分の 1（10 進数⁠1/10⁠、六部作⁠1/14⁠）は正確に表現できません（例えば、10進数で表現する必要があります）。また、6分の1（6進数で表現する必要があります）も正確に表現できません。1/10⁠、小数⁠1/6⁠）。

nビットすべてが 1である 2 進数の値は2 ⁿ  − 1です。

同様に、基数がbで桁数がdの数値N ( b , d )で、そのすべてが最大桁値b  −1である場合、次のように書くことができます。

N ( b , d ) = ( b  − 1) b ^{d −1} + ( b  − 1) b ^{d −2} + … + ( b  − 1) b ¹ + ( b  − 1) b ⁰、

N ( b , d ) = ( b  − 1)( b ^{d −1} + b ^{d −2} + … + b ¹ + 1)、

N ( b , d ) =( b  −1) Mです。

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹であり、

− M = − b ^{d −1}  −  b ^{d −2}  − ... − b ¹  − 1なので、

bM  −  M = b ^d  − 1、または

M = ⁠b ^d  − 1/b  − 1⁠ .

それから

N ( b , d ) = ( b  − 1) M、

N ( b , d ) = ⁠( b  − 1)( b ^d  − 1)/b  − 1⁠、

N ( b , d ) = bd  −1^です。

3桁の3進数の場合、N (3, 3) = 3 ³  − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2です。

8 進数や16進数が 2 進数の代わりに使用されるのと同様に、9 進数 (基数 9、各桁は 2 つの 3 進数) または72 進数 (基数 27、各桁は3つの 3 進数) は、 3進数の簡潔な表現に使用できます。

特定のアナログ ロジックでは、回路の状態が 3 値で表現されることがよくあります。これは、CMOS回路で最も一般的に見られ、トーテム ポール出力のトランジスタ トランジスタ ロジックでも見られます。出力は、低 (接地)、高、またはオープン (ハイZ )のいずれかであると言われています。この構成では、回路の出力は実際にはどの電圧基準にも接続されていません。信号が通常、特定の基準に接地されているか、特定の電圧レベルにある場合、その状態はオープンであり、独自の基準として機能するため、高インピーダンスであると言われています。したがって、実際の電圧レベルは予測できない場合があります。

一般的に使用される珍しい「三進法」は、アメリカの野球の守備統計（通常は投手のみ）で、イニングの小数部を表すために使用されます。攻撃側のチームは 3アウトが許されるため、各アウトは守備イニングの 3 分の 1 とみなされ、.1と表示されます。たとえば、プレーヤーが 4、5、6 イニングすべてを投げ、さらに 7 イニングで 2 アウトを達成した場合、そのゲームの投球回数の列は3.2と表示され、これは3に相当します。+2 ⁄ 3（一部の記録保管者によって代替として使用されることがあります）。この用法では、数値の小数部分のみが3進法で表記されます。 ^{[2] [3]}

三進法の数は、シェルピンスキーの三角形やカントール集合のような自己相似構造を便利に伝えるために使用できます。さらに、カントール集合の構成方法により、三進法表現はカントール集合および関連する点集合を定義するのに便利であることが判明しています。カントール集合は、数字 1 のインスタンスを含まない三進法式を持つ 0 から 1 までの点で構成されます。^{[4] [5]}三進法のシステムでの終端展開は、最後の非ゼロ項の前の項まで同一で、その後に最初の式の最後の非ゼロ項より 1 小さい項が続き、その後に 2 の無限末尾が続く式と同等です。たとえば、0.1020 は 0.1012222... と同等です。これは、最初の式の「2」まで展開が同じで、2 が 2 番目の展開で減算され、2 番目の式で末尾の 0 が末尾の 2 に置き換えられているためです。

三進法は、基数の経済性が最も低い整数基数であり、二進法と四進法がそれに続きます。これは、数学定数 eに近いためです。この効率性のため、一部のコンピューティング システムで使用されています。また、電話のメニュー システムなど、任意の分岐への単純なパスを可能にする 3 つのオプションツリーを表すためにも使用されます。

符号付き数字表現の一種である2進符号付数字システムと呼ばれる冗長な2進表現の形式は、繰り上がりを排除できるため、低レベルのソフトウェアやハードウェアで整数の高速加算を実現するために使用されることがあります。^[6]

2進数コンピュータを使用した3進数コンピュータのシミュレーション、または3進数コンピュータと2進数コンピュータ間のインターフェイスには、2進化3進数（BCT）数の使用が含まれ、各トリットを2ビットまたは3ビットでエンコードします。^{[7] [8]} BCTエンコードは、 2進化10進数（BCD）エンコードに似ています。トリット値0、1、2が00、01、10にエンコードされている場合、2進化3進数と2進数の間でのどちらの方向の変換も対数時間で行うことができます。^{[9] BCT演算をサポートする}Cコードのライブラリが利用可能です。^[10]

Setunのようないくつかの3進法コンピュータでは、1トリットを6トリット^[11]または約9.5ビット（事実上の2進バイトよりも多くの情報を保持）と定義していました。^[12]

• クトリット
• 三進法コンピュータSetun
• 三項論理
• 太玄井

• ヘイズ、ブライアン（2001年11月～12月）。「サードベース」（PDF）。アメリカンサイエンティスト。89 （6）。シグマXi、科学研究協会：490～494。doi ： 10.1511 /2001.40.3268。2019年10月30日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2020年4月12日閲覧。

• 三進法 2011-05-14 にWayback Machineでアーカイブ
• トーマス・ファウラーの3進計算機
• 三進法の基数変換 - 分数部分を含む、Maths Is Funより
• ギデオン・フリーダーの代替三進法