微分代数方程式系

数学において、微分代数方程式系( DAE ) は、微分方程式と代数方程式のいずれかを含む方程式系、またはそのような系と同等の 方程式系です。

このような系の解の集合は微分代数多様体であり、微分多項式の微分代数におけるイデアルに対応する。

一変量の場合、変数tの微分代数方程式は、次のような単一の方程式として表すことができます。

${\displaystyle F({\dot {x}},x,t)=0,}$

ここで、は未知の関数のベクトルであり、上線は時間微分、すなわち を表します。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$

これらは常微分方程式(ODE)とは異なり、関数xのすべての成分の導関数に対して DAE が完全に解けるわけではありません。なぜなら、これらの導関数がすべて現れるとは限らないからです (つまり、一部の方程式は代数的です)。技術的には、暗黙の ODE システム (明示的に表現される場合もあります) と DAE システムの違いは、ヤコビ行列がDAE システムでは 特異行列であることです。^[1] ODE と DAE のこの違いは、DAE がそれぞれ異なる特性を持ち、一般的に解くのがより難しいためです。^[2]${\displaystyle {\frac {\partial F({\dot {x}},x,t)}{\partial {\dot {x}}}}}$

実用的には、DAEとODEの違いは、DAEシステムの解がODEの場合のように信号自体だけでなく入力信号の導関数に依存するという点であることが多い。^[3]この問題は、シュミットトリガーのようなヒステリシスを持つ非線形システムでよく見られる^[4]。^[5]

この違いは、 xの代わりに従属変数のベクトルのペアを考え、DAEが次の形式になる ように書き直すと、より明確に分かります。${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

ここで、、、および${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

この形式の DAE システムは半明示的と呼ばれます。^[1]方程式の後半gのすべての解は、方程式の前半f を介してxの一意の方向を定義しますが、 yの方向は任意です。ただし、すべての点(x,y,t)がgの解であるわけではありません。 xと方程式の前半fの変数は、微分属性を取得します。 yと方程式の後半gの成分は、システムの代数変数または方程式と呼ばれます。[ DAE のコンテキストでの代数という用語は、導関数がないことを意味するだけで、（抽象）代数とは関係ありません。

DAE の解法は 2 つの部分から成り、第 1 に、一貫性のある初期値の探索、第 2 に、軌道の計算です。一貫性のある初期値を見つけるには、DAE のコンポーネント関数の導関数を考慮する必要があることがよくあります。このプロセスに必要な導関数の最高次数は、微分指数と呼ばれます。指数と一貫性のある初期値の計算で導出される方程式は、軌道の計算にも使用できます。半明示的 DAE システムは、微分指数を 1 減らすことで暗黙的システムに変換でき、その逆も可能です。^[6]

DAEとODEの違いは、従属変数のいくつかが導関数なしで現れる場合に明らかになります。従属変数のベクトルはペアとして書かれ、DAEの微分方程式系は次の形式になります。 ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

どこ

• ${\displaystyle x}$のベクトルは、導関数が存在する従属変数（微分変数）であり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle y}$のベクトルは、導関数が存在しない従属変数（代数変数）であり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\displaystyle t}$スカラー（通常は時間）は独立変数です。
• ${\displaystyle F}$これらの変数と導関数のサブセットを含む関数のベクトルです。${\displaystyle n+m}$${\displaystyle n+m+1}$${\displaystyle n}$

全体として、微分代数方程式の集合は関数である。

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

初期条件は、次の形式の方程式系の解でなければならない。

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

直交座標（ x、y ）における中心が（0,0）にある長さLの振り子の挙動は、オイラー・ラグランジュ方程式によって記述される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

ここで はラグランジュ乗数です。運動量変数uとvはエネルギー保存則によって制約され、その方向は円に沿っている必要があります。どちらの条件もこれらの方程式では明示されていません。最後の方程式を微分すると、 ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

運動の方向を円の接線方向に限定する。この式の次の導関数は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

そして、最後の恒等式の導関数は次のように簡略化され、積分後の定数は運動エネルギーと位置エネルギーの合計である ため、エネルギー保存則が成立することを意味します。${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$

すべての従属変数に対して一意の微分値を得るために、最後の方程式は 3 回微分されました。これにより、制約された機械システムでは一般的な微分指数 3 が得られます。

初期値とyの符号が与えられている場合、他の変数は によって決定され、 の場合、およびとなります。次の点に進むには、 xとuの導関数を取得すれば十分です。つまり、解くべき系は次のようになります。 ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle v=-ux/y}$${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

これは、インデックス 1 の半明示的 DAE です。およびxの符号から始めて、同様の方程式の別のセットを取得できます。 ${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$

DAE は、非線形デバイスを備えた回路のモデリングでも自然に発生します。DAEを使用する修正ノード解析は、たとえば、広く普及しているSPICEファミリーの数値回路シミュレータで使用されています。^[7]同様に、Fraunhofer のAnalog Insydes Mathematicaパッケージを使用して、ネットリストから DAE を導出し、場合によっては方程式を簡略化したり、記号的に解いたりすることができます。^{[8] [9]注目すべきは、(回路の) DAE のインデックスは、}正のフィードバックを持つオペアンプをコンデンサを介してカスケード接続/結合することで、任意の高さにできることです。^[4]

形式のDAE

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

は半明示的と呼ばれます。指数1の性質は、gがyについて解けることを要求します。言い換えると、代数方程式をtについて微分すると、暗黙の常微分方程式系が得られる場合、微分指数は1です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

これは、${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

十分に滑らかな DAE は、ほぼどこでもこの半明示的な指数 1 形式に還元できます。

DAEを解く上での2つの大きな問題は、指数減少と矛盾のない初期条件である。ほとんどの数値ソルバーは、次の形式の 常微分方程式と代数方程式を必要とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

任意のDAEシステムを純粋なODEソルバーで解くためにODEに変換するのは簡単なことではありません。使用できる手法には、パンテリデスアルゴリズムとダミー導関数指数削減法があります。あるいは、矛盾した初期条件を持つ高指数DAEを直接解くことも可能です。この解法では、有限要素上の直交配置による導関数要素の変換、または代数式への直接転写が行われます。これにより、任意の指数のDAEを、開いた方程式形式で並べ替えることなく解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

モデルが代数方程式形式に変換されると、大規模な非線形計画法ソルバーで解くことができます ( APMonitor を参照)。

微分代数方程式の扱いやすさを数値的手法で測る指標として、微分化指数、摂動指数、扱いやすさ指数、幾何指数、クロネッカー指数などが開発されている。^{[10] [11]}

DAE を解析するには、 -法を使用します。DAE に対してシグネチャ行列 を構築します。ここで、各行は各方程式 に対応し、各列は各変数 に対応します。位置 のエントリは で、これはに発生するの最高次導関数を表します。に が発生しない場合は を表します。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \sigma _{i,j}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$

上記の振り子DAEの場合、変数は です。対応するシグネチャ行列は ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

• 代数微分方程式は、似た名前にもかかわらず異なる概念である
• 遅延微分方程式
• 偏微分代数方程式
• Modelica言語

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations