不確実性の伝播

統計学において、不確実性の伝播（または誤差の伝播）とは、変数の不確実性（または誤差、より具体的にはランダム誤差）が、それに基づく関数の不確実性に与える影響のことです。変数が実験測定の値である場合、測定の制限（たとえば、機器の精度）による不確実性があり、関数内の変数の組み合わせにより伝播します。

不確実性u は、さまざまな方法で表現できます。絶対誤差 Δ xで定義される場合があります。不確実性は、相対誤差 (Δ x )/ xで定義することもでき、通常はパーセントで表されます。最も一般的には、量の不確実性は標準偏差σで定量化されます。これは、分散の正の平方根です。量の値とその誤差は、区間x ± uとして表されます。ただし、不確実性を特徴付ける最も一般的な方法は、その確率分布を指定することです。変数の確率分布がわかっているか、仮定できる場合は、理論的にはその統計のいずれかを取得することができます。特に、変数の真の値が存在する可能性のある領域を説明する信頼限界を導出することができます。たとえば、正規分布に属する 1 次元変数の 68% 信頼限界は、中心値xから約 ± 1 標準偏差σです。つまり、領域x ± σは、およそ 68% のケースで真の値をカバーすることになります。

不確実性が相関している場合は、共分散を考慮する必要があります。相関は 2 つの異なる原因から発生する可能性があります。まず、測定誤差が相関している可能性があります。次に、基礎となる値が母集団全体で相関している場合、グループ平均の不確実性も相関します。^[1]

非線形関数が不確実なパラメータ（相関の有無にかかわらず）を変更する一般的な状況では、不確実性を伝播し、結果として生じる量の確率分布/統計を推測するための標準的なツールは、モンテカルロ法ファミリーのサンプリング手法です。^[2]非常に大きなデータセットや複雑な関数の場合、誤差伝播の計算に非常にコストがかかる可能性があるため、代替モデル^[3]または並列計算戦略^{[4] [5] [6]}が必要になる場合があります。

特定のケースでは、不確実性の伝播計算は、単純な代数的手順で実行できます。これらのシナリオのいくつかを以下に説明します。

をm個の関数の集合とし、これは結合係数を持つ変数の線形結合である。 または行列表記では、 ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$$${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

また、x = ( x ₁ , ..., x _n )の分散共分散行列を で表し、平均値を で表すとします。 は外積です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

そして、 fの分散共分散行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])]=E[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]=\mathbf {A} E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf { x} -{\boldsymbol {\mu }})]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\シグマ}}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}$$

成分表記では、この式 は $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$$${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

これは、ある変数セットから別の変数セットへの誤差の伝播を表す最も一般的な式です。xの誤差が相関していない場合、一般的な式は次のように簡略化されます 。ここで、 はxベクトルのk番目の要素の分散です。 xの誤差が相関していない場合であっても、 fの誤差は一般に相関していることに注意してください。つまり、 が対角行列であっても、は一般に完全行列です。 $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

スカラー値関数fの一般的な表現は少し単純です (ここでaは行ベクトルです)。 $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

各共分散項は相関係数によって表現できるため、 fの分散の別の表現は次のようになる。 ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

xの変数が無相関の場合、これはさらに単純化されて $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

係数と分散が同一の単純なケースでは、 $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

算術平均の場合、結果は平均の標準誤差になります。 ${\displaystyle a=1/n}$$${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

f が変数xの非線形結合の集合である場合、変数のすべての矛盾しない値を含む区間を計算するために区間伝播を実行できます。確率的アプローチでは、関数f は通常、1 次テイラー級数展開の近似によって線形化する必要がありますが、場合によっては、積の正確な分散の場合のように、展開に依存しない正確な式を導出できます。^[7]テイラー展開は次のようになります。 ここで、 は、ベクトルxのすべての要素の平均値で評価された、 i番目の変数に関するf k_の偏微分を表します。または、行列表記では で、 J はヤコビ行列 です。 f ⁰は定数であるため、 f の誤差には寄与しません。したがって、誤差の伝播は上記の線形の場合に従いますが、線形係数A _kiとA _{kj を}偏微分と に置き換えます。行列表記では、^[8]$${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$$${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ $${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

つまり、関数のヤコビアンを使用して、引数の分散共分散行列の行と列を変換します。これは、 を使用した線形ケースの行列式と同等であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathrm {J=A} }$

相関関係を無視したり独立変数を仮定したりすると、誤差の伝播を計算するためのエンジニアや実験科学者の間で共通の式、分散式が得られます。^[9] ここで、は関数の標準偏差を表し、はの標準偏差を表し、はの標準偏差を表し、などとなります。 $${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$$${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle y}$

この式は の勾配の線形特性に基づいており、したがって が十分に小さい限り の標準偏差の良好な推定値となります。具体的には、 の線形近似は半径 の近傍内でに近くなければなりません。^[10]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

2つの変数およびの非線形微分可能関数は、次のように展開できます。 両辺の分散をとり、変数の線形結合の分散について 公式^[11]を用いると、 次の式が得られます。 ここで、は関数の標準偏差、はの標準偏差、はの標準偏差、はと間の共分散です。 ${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}$$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

、、という特定のケースでは、 と なります。 または との間には相関関係があります。 ${\displaystyle f=ab}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$$${\displaystyle \rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

変数とが無相関の場合、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$$

非線形関数の誤差推定は、切り捨てられた級数展開を使用するため、偏りが生じます。この偏りの程度は関数の性質によって異なります。たとえば、log(1+ x )に対して計算された誤差の偏りはx が増加するにつれて大きくなります。これは、 xへの展開が適切な近似値となるのはxがゼロに近い場合のみであるためです。

高度に非線形な関数の場合、不確実性の伝播に対する確率的アプローチには5つのカテゴリが存在します。^[12]詳細については 不確実性の定量化を参照してください。

逆数 の特殊なケースでは、 は標準正規分布に従い、結果として得られる分布は逆数標準正規分布となり、定義可能な分散は存在しません。^[13]${\displaystyle 1/B}$${\displaystyle B=N(0,1)}$

しかし、一般的な正規分布に従うシフト逆関数のやや一般的なケースでは、極と平均の差が実数値であれば、平均と分散の統計は主値の意味で存在します。^[14]${\displaystyle 1/(p-B)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

比率にも問題があり、特定の条件下では正規近似値が存在します。

この表は、標準偏差共分散と相関を持つ実変数の単純な関数の分散と標準偏差を示しています。実数値の係数とが正確に既知（決定論的）であると仮定されています。つまり、${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$ ${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$${\displaystyle \rho _{AB}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

表の右側の列では、と は期待値であり、 はそれらの値で計算された関数の値です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

相関のない変数（、）の場合、より複雑な関数の式は、より単純な関数を組み合わせることによって導き出すことができます。たとえば、相関がないと仮定して繰り返し乗算を行うと、 ${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$$${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

この場合、正確な分散についてはグッドマンの式^[7]も成り立ちます。無相関の場合、それは成り立ち 、したがって、 ${\displaystyle f=AB}$$${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2}),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$

AとBが無相関の場合、その差A − B はどちらよりも分散が大きくなります。正の相関 ( ) が増加すると、差の分散は減少し、同じ分散を持つ完全に相関した変数の分散はゼロに収束します。一方、負の相関 ( ) は、無相関の場合と比較して、差の分散をさらに増加させます。 ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

たとえば、自己減算f = A − A は、変量が完全に自己相関している場合( )のみ、分散がゼロになります。Aが無相関の場合、出力分散は入力分散の 2 倍になります。また、Aが完全に反相関している場合は、入力分散が出力で 4 倍になります(上の表の f = aA − aAに注目)。${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \rho _{A}=0,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}$${\displaystyle \rho _{A}=-1,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

偏微分を使用して誤差を伝播する例として、逆正接関数の不確実性の伝播を計算できます。

xの測定における絶対不確かさが どこにあるかを定義します 。f ( x )のxに関する導関数は $${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$$${\displaystyle \Delta _{x}}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$$

したがって、伝播された不確実性は、 絶対的な伝播された不確実性で ある場所です。 $${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$$${\displaystyle \Delta _{f}}$

実際の応用としては、オームの法則R = V / Iを使用して抵抗Rを決定するために、抵抗器の電流Iと電圧Vを測定する実験があります。

不確実性を伴う測定変数I ± σ _IとV ± σ _Vが与えられ、それらの相関関係を無視すると、計算量σ _Rの不確実性は次のようになります。

$${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$$

• ベヴィントン、フィリップ R.; ロビンソン、D. キース (2002)、物理科学のためのデータ削減と誤差分析(第 3 版)、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-119926-1
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• マイヤー、スチュアート L. (1975)、科学者とエンジニアのためのデータ分析、Wiley、ISBN 978-0-471-59995-1
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• 測定と不確実性の伝播に関する詳細な議論。単純な有意性演算の代わりに誤差伝播式とモンテカルロシミュレーションを使用する利点を説明する。
• GUM、測定における不確かさの表現ガイド
• EPFL 誤差伝播、導出、意味、および Cy = Fx Cx Fx' の例の紹介
• 不確実性パッケージは、不確実性（および誤差相関）を含む計算を透過的に実行するためのプログラム/ライブラリです。
• soerp パッケージは、不確実性 (および誤差相関) を伴う *2 次* 計算を透過的に実行するための Python プログラム/ライブラリです。
• 計量ガイド合同委員会 (2011)。JCGM 102: 測定データの評価 - 「測定における不確かさの表現ガイド」補足 2 - 任意の数の出力量への拡張(PDF) (技術レポート)。JCGM。2013年2 月 13 日閲覧。
• 不確実性計算機 任意の表現の不確実性を伝播する