ミラー指数

ミラー指数は、結晶学において結晶（ブラヴェ）格子の格子面を表す表記システムを形成します。

特に、与えられた（直接）ブラヴェ格子の格子面の族は、ミラー指数である 3 つの整数 h、k、  ℓによって決定されます。これらは ( hkℓ )と書かれ、 に直交する（与えられたブラヴェ格子の）（平行）格子面の族を表します。ここで、 は与えられたブラヴェ格子の逆格子の基底または原始並進ベクトルです。 (直接格子ベクトルは相互に直交する必要はないため、平面は直接格子ベクトルまたは元の格子ベクトルの線形結合に対して常に直交するわけではないことに注意してください。) これは、逆格子ベクトル(逆格子原点から逆格子点を示すベクトル) が、周期性が元のブラヴェ格子に従う空間関数 (たとえば、電子密度関数) のフーリエ級数における平面波の波動ベクトルであり、そのため平面波の波面が元の格子の平行格子面と一致するという事実に基づいています。X 線結晶構造解析における測定された散乱ベクトルは、出射（結晶格子から散乱）X 線波数ベクトルを 、入射（結晶格子に向かう）X 線波数ベクトルを とすると、ラウエ方程式で述べられているように逆格子ベクトルに等しいため、各測定散乱ベクトルにおける測定された散乱 X 線ピークはミラー指数でマークされます。慣例により、負の整数は、−3 の場合は3のようにバーを使用して表記されます。整数は通常最小公倍数で表記されます。つまり、最大公約数は1 になります。ミラー指数は、X 線結晶構造解析における反射を指定するためにも使用されます。この場合、整数は必ずしも最小公倍数である必要はなく、すべての平面に原子があるかどうかに関係なく、隣接する平面からの反射がちょうど 1 波長（2 π ）の位相差を持つように間隔を置いた平面に対応するものと考えることができます。 ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {k} }$

関連する表記法もいくつかある: ^[1]

• この表記は、格子の対称性によって と等価なすべての平面の集合を表します。${\textstyle \{hk\ell \}}$${\displaystyle (hk\ell )}$

結晶方向（平面ではない）のコンテキストでは、対応する表記は次のようになります。

• ${\displaystyle [hk\ell ],}$丸括弧の代わりに四角括弧が使われている場合は、逆格子ではなく直接格子ベクトルの基底における方向を表します。
• 同様に、表記は対称性によって と同等であるすべての方向の集合を表します。${\displaystyle \langle hk\ell \rangle }$${\displaystyle [hk\ell ]}$

ラウエ・ブラッグ干渉について

• ${\displaystyle hk\ell }$反射を指定するときに括弧がない

ミラー指数は1839年にイギリスの鉱物学者ウィリアム・ハロウズ・ミラーによって導入されましたが、ほぼ同じシステム（ワイスパラメータ）はドイツの鉱物学者クリスチャン・サミュエル・ワイスによって1817年からすでに使用されていました。 ^[2]この方法は歴史的にミラーシステムとしても知られており、指数はミラーリアンと呼ばれていましたが、^[3]現在ではほとんど使用されていません。

ミラー指数は、時々言われるように、原始基底ベクトルに関してだけではなく、任意の単位セルの選択に関して定義されます。

ミラー指数の意味を定義する方法は2つあります。^[1]逆格子の点を介する方法と、格子ベクトルに沿った逆切片として定義する方法です。両方の定義を以下で示します。どちらの場合でも、単位格子を定義する3つの格子ベクトルa ₁、a ₂、およびa _{3 を選択する必要があります（以下の例に示すように、従来の単位格子は}ブラベー格子の基本格子よりも大きい場合があることに注意してください）。これらが与えられると、3つの基本逆格子ベクトルも決定されます（b ₁、b ₂、およびb ₃と表記されます）。

次に、3つのミラー指数が逆格子ベクトルに直交する平面を表すとします。 ${\displaystyle h,k,\ell ,(hk\ell )}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$

つまり、( hkℓ ) は、単に原始逆格子ベクトルの基底にある平面の法線を示します。座標は整数なので、この法線自体は常に逆格子ベクトルです。最小項の要件は、指定された方向の最短逆格子ベクトル であることを意味します。

同様に、( hkℓ ) は、3 つの点a ₁ / h、a ₂ / k、およびa ₃ / ℓ 、またはそれらの倍数と交差する平面を表します。つまり、ミラー指数は、格子ベクトルを基準として、平面の切片の逆数に比例します。指数の 1 つが 0 の場合、平面はその軸と交差しない (切片は「無限遠」にある) ことを意味します。

1つ以上の格子点（格子面）と交差する（hkℓ ）平面のみを考慮すると、隣接する格子面間の垂直距離dは、平面に直交する（最短の）逆格子ベクトルと次の式で関係付けられます。^[1]${\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|}$

関連する表記法[hkℓ]は方向を表す:

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

つまり、逆格子の代わりに直接格子基底を使用します。[hkℓ] は、以下で説明する立方格子を除いて、 一般に ( hkℓ ) 平面に対して垂直ではないことに注意してください。

単純な立方結晶の特殊なケースでは、格子ベクトルは逆格子の場合と同様に直交し、等しい長さ（通常はaと表記）になります。したがって、この一般的なケースでは、ミラー指数（hkℓ）と [ hkℓ ] はどちらも単に直交座標の法線/方向を表します。

格子定数 aを持つ立方晶の場合、隣接する（hkℓ ）格子面間の間隔dは（上から）

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}}$。

立方晶の対称性により、整数の位置と符号を変更して、同等の方向と平面を持つことが可能です。

• ⟨100⟩のような山括弧内のインデックスは、[100]、[010]、[001]、またはそれらのいずれかの方向の負など、対称操作により同等となる方向のファミリーを表します。
• {100} などの中括弧または中括弧内のインデックスは、山括弧が方向の系列を表すのと同じように、対称操作によって等価となる平面法線の系列を表します。

面心立方格子および体心立方格子の場合、基本格子ベクトルは直交しません。ただし、これらの場合、ミラー指数は、立方スーパーセルの格子ベクトルを基準として慣例的に定義されるため、これもまた単純に直交方向になります。

六方格子および菱面体 格子系では、次の制約に従う 4つの指数（h k i ℓ ）を使用するブラベー・ミラー系を使用することができる。

h + k + i = 0 です。

ここで、h、k、ℓは対応するミラー指数と同一であり、iは冗長指数です。

六方格子の平面にラベルを付けるこの 4 つのインデックス方式により、順列の対称性が明らかになります。たとえば、(110) ≡ (11 2 0) と (1 2 0) ≡ (1 2 10) の類似性は、冗長なインデックスが示されている場合により明らかになります。

右の図では、(001)面は3回対称性を持ち、1/3 (2 π /3 rad、120°) 回転しても変化しません。[100]、[010]、[ 1 1 0]方向は実際には似ています。Sが平面と[ 1 1 0]軸の切片である場合、

i = 1/ Sです。

六角格子ベクトル（逆格子ベクトルや平面ではなく）を 4 つのインデックスでインデックスするアドホックスキーム（透過型電子顕微鏡の文献など）もあります。ただし、これらは、通常の 3 つのインデックス セットに冗長なインデックスを同様に追加することによって動作するわけではありません。

例えば、上で示した逆格子ベクトル（ hkℓ ）は、逆格子ベクトルを使って次のように表すことができます。六方晶の場合、これは直接格子基底ベクトルa ₁、a ₂、a ₃を使って次の ように表すことができます。${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$

${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$

したがって、平面に垂直な方向のゾーンインデックス（hkℓ）は、適切に正規化された3つ組の形式では、単に です。ただし、平面に垂直なゾーン（hkℓ ）に4つのインデックスが使用される場合、文献では代わりに がよく使用されます。^[4]このように、角括弧または山括弧で囲まれた4つのインデックスのゾーンインデックスでは、右側の単一の直接格子インデックスと左側の逆格子インデックス（通常は丸括弧または波括弧内）が混在していることがあります。 ${\displaystyle [2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$${\displaystyle [h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$

また、六角形の面間の距離は、次の式で表されることに注意する。

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

結晶方向は、結晶のノード (原子、イオン、分子)を結ぶ線です。同様に、結晶面はノードを結ぶ面です。方向や面によっては、ノードの密度が高く、このような密度の高い面は結晶の挙動に影響を与えます。

• 光学特性：凝縮物質では、光はレイリー散乱によってある原子から別の原子に「飛び移る」。光の速度は方向によって異なり、原子が近いか遠いかによっても異なる。これが複屈折をもたらす。
• 吸着と反応性：吸着と化学反応は結晶表面の原子または分子で発生する可能性があるため、これらの現象はノードの密度に敏感です。
• 表面張力：物質の凝縮とは、原子、イオン、分子が他の類似の種に囲まれているとより安定することを意味します。したがって、界面の表面張力は表面の密度に応じて変化します。
  • 細孔と結晶子は、密な面に沿って直線的な粒界を持つ傾向がある。
  • 胸の谷間
• 転位（塑性変形）
  • 転位核は密な面上に広がる傾向がある（弾性摂動は「希釈」される）。これにより摩擦（パイエルス・ナバロ力）が減少し、密な面上で滑りがより頻繁に発生する。
  • 転位によってもたらされる摂動（バーガースベクトル）は密な方向に沿っており、密な方向への1つのノードのシフトはより小さな歪みです。
  • 転位線は密な方向に沿って進む傾向があり、転位線は直線になることが多く、転位ループは多角形になることが多い。

これらすべての理由から、平面を決定し、表記システムを持つことが重要です。

通常、ミラー指数は定義により常に整数であり、この制約は物理的に重要です。これを理解するために、ミラー「指数」a、b、c (上記のように定義) が必ずしも整数ではない平面 ( abc ) を許可すると仮定します。

a、b、cが有理比を持つ場合、 a、b、c を適切にスケーリングすることにより、同じ平面族を整数インデックス ( hkℓ )で表すことができます。つまり、3 つの数のうち最大の数で割り、最小公分母を掛けます。したがって、整数ミラーインデックスには、すべての有理比を持つインデックスが暗黙的に含まれます。成分 (逆格子基底内) が有理比を持つ平面が特に興味深い理由は、これらが格子平面であるためです。これらは、結晶との交差が 2d 周期的である唯一の平面です。

一方、a、b、cが無理数比である平面 (abc) の場合、平面と結晶の交差は周期的ではありません。これは、準結晶と呼ばれる非周期的なパターンを形成します。この構成は、無理数比のミラー指数を持つ平面を使用して準結晶を定義する標準的な「カット アンド プロジェクション」法と正確に一致します。(ペンローズ タイリングなどの多くの準結晶は、3 次元を超える周期格子の「カット」によって形成され、複数のこのような超平面の交差が含まれます。)

• 結晶構造
• クリスタル習慣
• 菊池線
• 逆格子
• ゾーン軸
• MTEX

ウィキメディア・コモンズには、ミラー指数に関連するメディアがあります。

• IUCr 結晶学オンライン辞書
• 図によるミラー指数の説明
• 格子面とミラー指数に関するオンラインチュートリアル。
• MTEX – テクスチャ解析用の無料 MATLAB ツールボックス
• http://sourceforge.net/projects/orilib – 結晶の方向を制御するための特別なツールを含む、回転/方向操作用のルーチンのコレクション。