クラマーの法則

線型代数学において、クラメールの法則は、方程式の数と未知数の数が同じである線型方程式系の解を求める明示的な公式であり、系が一意に解を持つ場合に有効である。この法則は、 （正方）係数行列の行列式と、そこから1つの列を方程式の右辺の列ベクトルで置き換えることによって得られる行列で解を表現する。この法則は、1750年に任意の数の未知数に対する法則を発表したガブリエル・クラメールにちなんで名付けられたが、 ^{[1] [2]}コリン・マクローリンも1748年にこの法則の特殊なケースを発表しており、^[3]おそらく1729年にはこの法則を知っていたと思われる。^{[4] [5] [6]}

クラメールの規則は、単純な方法で実装すると、2つまたは3つ以上の方程式のシステムでは計算効率が悪い。^[7] n個の未知数に対するn個の方程式の場合、 n + 1個の行列式の計算が必要になるが、ガウス消去法では単一の行列式の計算と同じ計算量で結果が得られる。 ^{[8] [9] [検証が必要]}クラメールの規則は、2×2システムでも数値的に不安定になる可能性がある。 ^{[10]ただし、クラメールの規則は}ガウス消去法と同じ計算量で実装できる^{[11] [12]}（常に2倍の算術演算が必要で、同じ順列行列を適用した場合の数値安定性は同じ）。

次のように行列乗算形式で表される、 n 個の未知数に対するn 個の線形方程式のシステムを考えます。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

ここで、n × n行列A は非ゼロの行列式を持ち、ベクトルは変数の列ベクトルです。この場合、定理は、システムには一意の解があり、その未知数の個々の値は次のように与えられることを述べています。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

ここで、はAのi番目の列を列ベクトルbに置き換えることによって形成される行列です。 ${\displaystyle A_{i}}$

^{クラメールの法則[13]}のより一般的なバージョンでは、行列方程式

${\displaystyle AX=B}$

ここで、n × n行列A は非ゼロの行列式を持ち、X、Bはn × m行列です。シーケンスとが与えられた場合、の行と の列を持つXのk × k部分行列をとします。は、すべての に対して、Aの列をBの列に置き換えることによって形成されるn × n行列とします。 ${\displaystyle 1\leq i_{1} <i_{2} <i_{k}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1} <j_{2} <j_{k}\leq m}$${\displaystyle X_{I,J}}$${\displaystyle I:=(i_{1},\ldots,i_{k})}$${\displaystyle J:=(j_{1},\ldots,j_{k})}$${\displaystyle A_{B}(I,J)}$${\displaystyle i_{s}}$${\displaystyle j_{s}}$${\displaystyle s=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

の場合、これは通常のクラメールの規則に帰着します。 ${\displaystyle k=1}$

この規則は、実数だけでなく、あらゆるフィールドの係数と未知数を含む方程式のシステムに適用されます。

クラメールの規則の証明では、行列式の以下の特性、つまり、任意の列に関して線形であること、および 2 つの列が等しい場合は常に行列式が 0 であるという事実 (これは、2 つの列を入れ替えると行列式の符号が反転するという特性によって暗示される) を使用します。

列のインデックスjを固定し、他の列のエントリが固定値を持つとします。これにより、行列式はj番目の列のエントリの関数になります。この列に関する線形性は、この関数が次の形式を持つことを意味します。

${\displaystyle D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},}$

ここで、はAのj列に含まれない要素に依存する係数である。したがって、 ${\displaystyle C_{i,j}}$

${\displaystyle \det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}}}$

(ラプラス展開はを計算するための公式を提供しますが、その表現はここでは重要ではありません。) ${\displaystyle C_{i,j}}$

関数がAの他の列kに適用された場合、結果は、列j を列kのコピーに置き換えることによってAから取得された行列の行列式となり、結果の行列式は 0 になります (2 つの列が等しい場合)。 ${\displaystyle D_{j}}$

ここで、係数行列がAで、det( A )がゼロでないと仮定した 、 n個の未知数を持つn個の線形方程式のシステムを考えます。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

これらの式を、最初の式のC _{1, j}倍と2番目の式のC _{2, j}倍、そして最後の式のC _{n , j}倍まで組み合わせると、すべてのkに対して、 x _kの係数は次のようになります。

${\displaystyle D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).}$

したがって、の係数を除くすべての係数はゼロになります。同様に、定数係数はとなり、結果として得られる方程式は ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle \det(A).}$${\displaystyle D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

${\displaystyle \det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

の値は次のように 表される。${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).}$

構造上、分子はAの列j をbに置き換えることによって得られる行列の行列式であるため、解を得るための必要条件としてクラメールの規則の表現が得られます。

未知数に対するこれらの値が解を形成することを証明する必要がある。Mをn × n行列とし、 j行目にの係数を持つものとする(これはAの随伴行列である)。行列の用語で表現すると、次のことを証明する必要がある。 ${\displaystyle D_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b} }$

解決策は、つまり

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$

そのためには、次のことを証明すれば十分である。

${\displaystyle A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n},}$

ここで は単位行列です。 ${\displaystyle I_{n}}$

上記の関数の特性から、 MA = det( A ) I _{n で}あることがわかり、したがって、 ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}.}$

正方行列の左逆は右逆でもあるので、これで証明は完了です(可逆行列定理を参照)。

その他の証明については以下を参照してください。

A を体Fの要素を持つn × n行列とします。すると

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)I}$

ここで、adj( A )は随伴行列、det ( A )は行列式、Iは単位行列である。det ( A )がゼロでない場合、 Aの逆行列は

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).}$

これは、 det( A ) ≠ 0であれば、Aの逆関数の公式を与えます。実際、この公式は、det( A )が単位元であれば、F が可換環であればいつでも機能します。det( A )が単位元でない場合、A は環上で可逆ではありません（ Fの非単位元の一部が可逆である可能性がある、より大きな環上では可逆である可能性があります）。

線形システムを考える

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.}$

マトリックス形式では

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.}$

a ₁ b ₂ − b ₁ a ₂がゼロでないと仮定します。すると、行列式の助けを借りて、xとyはクラメールの定理で次のように求められます 。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

3×3行列の規則も同様である。

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.}$

マトリックス形式では

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.}$

すると、 x、y、zの値は次のように求められます。

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

クラメールの法則は、リッチ計算において、第一種および第二種のクリストッフェル記号を含む様々な計算に使用されます。 ^[14]

特に、クラメールの規則は、リーマン多様体上の発散演算子が座標の変更に関して不変であることを証明するために使用できます。クリストッフェル記号の役割を抑制して、直接的な証明を示します。 を局所座標を備えたリーマン多様体とします。をベクトル場とします。全体を通して総和規則を使用します。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

定理。

の発散、​${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),}$

座標の変更に対して不変です。

2つの方程式とを考えてみましょう。uとvが独立変数である場合、次のように定義できます。${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$${\displaystyle x=X(u,v)}$${\displaystyle y=Y(u,v).}$

の方程式はクラメールの規則を適用することで見つけることができます。 ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

クラメールの規則は、制約行列が完全にユニモジュラであり、右辺が整数である 整数計画問題に整数基本解があることを証明するために使用できます。これにより、整数計画を解くのが大幅に簡単になります。

クラメールの規則は、パラメータの変化法によって不同次線形微分方程式の一般解を導くために使用されます。

クラメールの規則には、証明とも考えられ、あるいは単にその幾何学的性質についての洞察を与えるものでもある幾何学的解釈があります。これらの幾何学的議論は、ここで提示した 2 つの未知数を持つ 2 つの方程式の場合だけでなく、一般に機能します。

方程式の体系を考えると

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}}$

これはベクトル間の方程式として考えることができる

${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.}$

によって決まる平行四辺形の面積は、次の方程式の行列式によって与えられます。 ${\displaystyle {\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.}$

一般に、変数や方程式がさらに多い場合、長さnのn 個のベクトルの行列式は、 n次元ユークリッド空間でそれらのベクトルによって決定される平行六面体の体積を与えます。

したがって、とで決まる平行四辺形の面積は、最初の平行四辺形の面積の倍数でなければなりません。なぜなら、1つの辺にこの係数が掛けられているからです。さて、この最後の平行四辺形は、カヴァリエリの原理により、とで決まる平行四辺形と同じ面積を持ちます。${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}.}$

この最後の平行四辺形の面積と2番目の平行四辺形の面積を等しくすると次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}$

そこからクラマーの法則が導かれます。

これは上記の証明を抽象的な言葉で言い換えたものです。

が、クラメールの規則のように、列に が代入された行列である写像を考えます。各列の行列式の線形性のため、この写像は線形です。繰り返される列を持つ行列の行列式は 0 なので、の列を 番目の基底ベクトル( 番目の場所に 1 がある)に送ることに注目してください。したがって、列空間上のの逆と一致する線形写像が得られます。したがって、列空間のスパンでと一致します。は可逆なので、列ベクトルは のすべてに及ぶため、写像は実際には の逆です。クラメールの規則に従います。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$

^{クラメールの法則[15]}の簡単な証明は、が行列の行列式である ことに注目することで与えられる。${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

一方、元の行列Aが逆行列であると仮定すると、この行列には列があり、 は行列Aのn番目の列です。行列には列があり、したがって であることを思い出してください。したがって、2 つの行列の積の行列式は行列式の積であることを使用して、次の式が得られます。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle X_{1}=A^{-1}A_{1}}$

${\displaystyle x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.}$

他の証明も同様です。 ${\displaystyle x_{j}}$

連立方程式は、解がない場合は矛盾していると言われ、解が複数ある場合は不確定であると言われます。線形方程式の場合、不確定な連立方程式には、解が任意の値を取ることができる 1 つ以上のパラメータで表現できるため、無限の解が存在します (無限体上にある場合)。

クラメールの規則は、係数行列式がゼロ以外の場合に適用されます。2×2 の場合、係数行列式がゼロであれば、分子行列式がゼロ以外の場合はシステムは互換性がなく、分子行列式がゼロの場合は不確定です。

3×3 以上のシステムでは、係数行列式がゼロのときに言えることは、分子行列式のいずれかがゼロでない場合、システムは矛盾しているに違いないということです。ただし、すべての行列式がゼロであることは、システムが不確定であることを意味するわけではありません。すべての行列式が消える (ゼロに等しい) が、システムが依然として矛盾している単純な例として、3×3 システムx + y + z =1、x + y + z =2、x + y + z =3 があります。

• ルーシェ・カペリ定理
• ガウス消去法

• クラマーの法則の証明 2015-09-22 にWayback Machineにアーカイブされました
• クラメールの法則を使って線形方程式のシステムを記述的に解く Web アプリ
• 線形方程式のオンライン計算機
• この件に関するWolfram MathWorldの説明