回帰希釈

xが固定されているがノイズを伴って測定される場合は、関数モデルまたは関数関係として知られています。^{[ 2 ]}これは、全最小二乗法^{[ 3 ]}や一般的に変数誤差モデル を使用して修正できます。

x変数がランダムに発生する場合を構造モデルまたは構造的関係と呼びます。例えば、医学研究では、患者は母集団からサンプルとして募集され、血圧などの特性はランダムサンプルから得られたものとみなすことができます。

特定の仮定（通常は正規分布の仮定）の下では、真の傾きと期待される推定傾きの間に既知の比率が存在します。Frost と Thompson (2000) は、この比率を推定し、推定傾きを補正するためのいくつかの方法をレビューしています。 ^{[ 4 ]}回帰希釈比 という用語は、すべての著者によってまったく同じように定義されているわけではありませんが、通常の線形回帰を当てはめてから補正を適用するこの一般的なアプローチに使用されます。Longford (2001) による Frost と Thompson への返答では、読者に他の方法を参照するように指示しており、回帰モデルを拡張して x 変数の変動性を考慮することで、バイアスが発生しないようにしています。^{[ 5 ]} Fuller (1987) は、回帰希釈を評価して補正するための標準的な参考文献の 1 つです。^{[ 6 ]}

Hughes (1993) は、回帰希釈比法が生存モデルに近似的に適用されることを示している。^{[ 7 ]} Rosner (1992) は、比率法がロジスティック回帰モデルに近似的に適用されることを示している。^{[ 8 ]} Carroll ら (1995) は、非線形モデル における回帰希釈についてより詳細に説明し、回帰希釈比法を回帰較正法の最も単純なケースとして提示しており、追加の共変量も組み込むことができる。^{[ 9 ]}

一般的に、構造モデルの手法では、x変数の変動性の推定値が必要となります。そのためには、主要データセットのサブスタディ、あるいは別のデータセットにおいて、同一被験者におけるx変数の繰り返し測定が必要となります。この情報がなければ、補正を行うことはできません。

変動性（相関している可能性あり）の影響を受ける複数の予測変数のケースは、線形回帰およびいくつかの非線形回帰モデルについて十分に研究されています。^{[ 6 ] [ 9 ]}生存分析のための比例ハザードモデル などの他の非線形モデルは、変動性の影響を受ける単一の予測変数のみで検討されてきました。^{[ 7 ]}

させて${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \theta }$ある個人または統計単位の 2 つの属性の真の値を とする。これらの値は、母集団内の異なる統計単位ごとに異なるという仮定により変数である。${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ そして${\displaystyle {\hat {\theta }}}$推定値${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \theta }$は、誤差を伴う観測から直接得られるか、ラッシュモデルなどの測定モデルを適用することによって得られる。また、

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\beta +\epsilon _{\beta },\quad \quad {\hat {\theta }}=\theta +\epsilon _{\theta },}$

どこ${\displaystyle \epsilon _{\beta }}$そして${\displaystyle \epsilon _{\theta }}$推定値に関連する測定誤差は${\displaystyle {\hat {\beta }}}$そして${\displaystyle {\hat {\theta }}}$。

2つの推定値セット間の推定相関は

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{{\sqrt {\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]\operatorname {var} [{\hat {\シータ }}}}]}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta +\epsilon _{\beta },\theta +\epsilon _{\theta })}{\sqrt {\operatorname {var} [\beta +\epsilon _{\beta }]\operatorname {var} [\theta +\epsilon _{\theta }]}}},}$

エラーが互いに、また真の属性値と相関がないと仮定すると、

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\theta }])}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ])}}}.{\frac {\sqrt {\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ]}}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\theta }])}}}$

${\displaystyle =\rho {\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}},}$

どこ${\displaystyle R_{\beta }}$は推定値セットの分離指数です。${\displaystyle \beta }$これはクロンバックのアルファに類似しています。つまり、古典的テスト理論の観点から言えば、${\displaystyle R_{\beta }}$これは信頼性係数に相当する。具体的には、分離指数は次のように定義される。

${\displaystyle R_{\beta }={\frac {\operatorname {var} [\beta ]}{\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}}=1-{\frac {\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}{\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]}},}$

ここで、個人推定値の平均二乗標準誤差は誤差の分散の推定値を与える。${\displaystyle \epsilon _{\beta }}$標準誤差は通常、推定プロセスの副産物として生成されます（ラッシュモデル推定を参照）。

したがって、2つのパラメータ推定値セット間の相関の減衰補正推定値は次のようになる。

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mbox{corr}}({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}}}.}$

すなわち、減衰補正された相関推定値は、推定値間の相関を、2つの推定値セットの分離指標の幾何平均で割ることによって得られる。古典的テスト理論の観点から言えば、相関は2つのテストの信頼性係数の幾何平均で割られる。