サブコンパクトカーディナル

数学において、サブコンパクト基数とは、ある種の大きな基数である。

基数κがサブコンパクトであるのは、任意のA ⊂ H ( κ ^{+ ) に対して、臨界点}μ を持ち、 j ( μ ) = κである非自明な基本埋め込みj:( H ( μ ⁺ ), B ) → ( H ( κ ⁺ ), A ) (ここでH ( κ ^{+ ) は}κ ⁺より遺伝的に小さいすべての集合の集合)が存在する場合に限る。     

同様に、κが準コンパクト基数であるのは、すべてのA  ⊂ H ( κ ⁺ ) に対して、臨界点κを持ち、j ( κ ) = μである非自明な基本埋め込みj :( H ( κ ⁺ ), A ) → ( H ( μ ⁺ ), B ) が存在する場合に限る。    

H ( λ ) は推移閉包の濃度がλより小さいすべての集合から構成される。 

すべての準コンパクト基数はサブコンパクトです。準コンパクト性は、大きな基数の性質を上方に投影するという点で、サブコンパクト性を強化したものです。この関係は、拡張可能な基数と超コンパクト基数の関係に類似しています。準コンパクト性は、1-拡張可能性の強化版または「太字」版と見なすことができます。サブコンパクト基数の存在は、多くの1-拡張可能な基数の存在、したがって多くの超強力基数の存在を意味します。2κ-超コンパクト基数κの存在は、^多くの準コンパクト基数の存在を意味します。

準コンパクト基数は、平方原理の破綻を意味する最小の基数として注目に値する。κが準コンパクト基数であれば、平方原理はκにおいて破綻する。準コンパクト基数のレベルでの標準的な内部モデルは、準コンパクト基数を除くすべての基数において平方原理を満たす。（このようなモデルの存在はまだ証明されていないが、いずれにせよ、より弱い基数に対しては平方原理を強制することができる。）

準コンパクト性は、長いエクステンダーを使用しない現在の内部モデルで確認できる最も強力な大きな基数特性の 1 つです。現在の内部モデルでは、含まれる基本埋め込みは、P ( κ ) (埋め込みが含まれる段階で計算される) への影響によって決定されます。ここで κ は臨界点です。これにより、 κ ⁺強コンパクト基数κさえも確認できなくなります。 

サブコンパクト基数と準コンパクト基数は、ロナルド・ジェンセンによって定義された。