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数学の基礎において、被覆補題は、特定の大きな基数が存在しないことが、コアモデルと呼ばれる標準的な内部モデルの存在につながることを証明するために使用されます。コアモデルは、ある意味で最大であり、フォンノイマン宇宙Vの構造を近似します。被覆補題は、特定の反大きな基数の仮定の下で、コアモデルが存在し、選択された大きな基数に依存する意味で最大であると主張します。最初のそのような結果は、0 #が存在しないと仮定した構成可能宇宙に対してロナルドジェンセンによって証明され、現在ではジェンセンの被覆定理として知られています。
例
たとえば、測定可能な基数の内部モデルが存在しない場合は、Dodd–Jensen コアモデルK DJ がコアモデルとなり、被覆特性を満たします。つまり、順序数の非可算集合xごとに、 y ⊃ x、yの基数がxと同じ、y ∈ K DJとなるようなyが存在します。( 0 #が存在しない場合は、K DJ = Lです。)
バージョン
コアモデルKが存在する場合（そしてウッディン基数を持たない場合）、
- K に ω 1 -エルデシュ基数がない場合、特定の可算 (K 内) かつ K 内で定義可能な順序数から順序数への関数のシーケンスに対して、これらの関数の下で閉じた順序数のすべての集合は、K 内の可算数の集合の和集合になります。L = K の場合、これらは単に原始再帰関数です。
- K に測定可能な基数がない場合は、順序数の無数集合xごとに、 x ⊂ y かつ |x| = |y| となるy ∈ Kが存在します。
- K に測定可能な基数 κ が 1 つだけある場合、順序数の非可算集合 x ごとに、x ⊂ y かつ |x| = |y| となる y ∈ K[C] が存在します。ここで、C は空であるか、K に対して Prikry ジェネリック (つまり、順序型 ω を持ち、κ において共終的) であり、有限の初期セグメントを除いて一意です。
- K に可測基数の到達不可能な極限がなく、可測基数の適切なクラスもない場合、K に対して最大かつ一意の (順序数の有限集合を除く) 集合 C (識別不能集合と呼ばれる) が存在し、K のすべての測度列 S に対して、各可測基数ごとに 1 つの集合からなる 1 つの集合があり、C マイナス ∪S は有限です。κ より下の可測基数より下の C のメンバーを除き、すべての κ \ C は有限であるか、κ における K の Prikry ジェネリックであることに注意してください。すべての順序数の無数集合 x に対して、x ⊂ y かつ |x| = |y| となる y ∈ K[C] があります。
- 順序数のあらゆる不可算集合 x に対して、K 上の全拡張子の識別不能集合 C が存在し、y ∈ K[C] かつ x ⊂ y かつ |x| = |y| が成立します。
- K は、特異基数と弱コンパクト基数の後続基数を正しく計算します (弱被覆特性)。さらに、|κ| > ω 1の場合、共終性((κ + ) K ) ≥ |κ| です。
エクステンダーと判別不能なもの
重複する全拡張子のないコアモデルの場合、識別不能なシステムはよく理解されています。(K が測定可能な基数のアクセス不可能な極限を持つ場合) システムはカバーされるセットに依存する可能性がありますが、弱い意味で明確に決定され一意です。カバーの 1 つの応用は、識別不能な数 (のシーケンス) を数えることです。これにより、特異基数仮説のさまざまな失敗に対する最適な下限が得られます。たとえば、K に重複する全拡張子がなく、κ が特異な強い極限で、2 κ = κ ++の場合、κ は K で少なくとも κ ++ のミッチェル順序を持ちます。逆に、特異基数仮説の失敗は、(一般的な拡張で) κ から o(κ) = κ ++で取得できます。
重複する全拡張子を持つコアモデル（つまり、測定可能な拡張子までの強い基数を持つモデル）の場合、識別不能なシステムの理解が不十分であり、アプリケーション（弱い被覆など）では、識別不能な部分を分析するのではなく、回避する傾向があります。
追加のプロパティ
K が存在する場合、すべての正則な Jónsson 基数は K の Ramsey 基数です。K の正則なすべての特異基数は K で測定可能です。
また、コアモデル K(X) が順序数の集合 X より上に存在する場合、それは X より上で上で説明した被覆特性を持ちます。