協力ゲーム理論

ゲーム理論において、協力ゲーム（または連合ゲーム）とは、拘束力のある「連合」を形成し、協力行動を外部から強制する（たとえば契約法を通じて）ゲームである。これは、同盟を結ぶ可能性がないか、すべての合意が自己強制される（たとえば信頼できる脅威を通じて）必要がある非協力ゲームとは異なる。^[1]

協力ゲームは、形成される可能性のある連合、グループが実行できる共同行動、および結果として得られる集団的利益に焦点を当てて分析されます。^{[2] [3]}

協力ゲームは、各連合に値を指定することによって与えられます。正式には、連合ゲームは、大連合と呼ばれる有限のプレイヤーの集合と、プレイヤーのすべての可能な連合の集合からを満たす支払いの集合への特性関数^[4]で構成されます。この関数は、連合を形成することによってプレイヤーの集合がどれだけの集団的利益を得ることができるかを説明します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$

協力ゲーム理論は、プレイヤーが連合を形成し、互いに協力し、拘束力のある合意を結ぶことができるゲームの研究を扱うゲーム理論の分野です。この理論は、2人以上のプレイヤーが他のプレイヤーの幸福に影響を与える選択をしなければならないシナリオを分析するための数学的手法を提供します。^[5]

共通の利益: 協力ゲームでは、プレイヤーは特定の目標や結果を達成するという共通の利益を共有します。プレイヤーは、協力の基盤と根拠を確立するために、共通の利益を特定し、同意する必要があります。プレイヤーが共通の利益を明確に理解すると、それを達成するために協力することができます。^{[引用が必要]}

必要な情報交換: 協力には、プレイヤー間のコミュニケーションと情報交換が必要です。プレイヤーは、相互利益の機会を特定するために、自分の好み、リソース、制約に関する情報を共有する必要があります。情報を共有することで、プレイヤーはお互いの目標をよりよく理解し、一緒に目標達成に向けて取り組むことができます。^[要出典]

自発性、平等性、相互利益: 協力ゲームでは、プレイヤーは自発的に集まって連合を形成し、合意を結びます。プレイヤーは連合において対等なパートナーである必要があり、合意は相互に利益をもたらすものでなければなりません。協力は、すべての当事者が利益の公平な分配を受けていると感じている場合にのみ持続可能です。^{[引用が必要]}

強制契約: 協力ゲームでは、プレイヤー間の合意は拘束力があり、義務的です。プレイヤーが特定の行動方針に合意したら、それを実行に移す義務があります。プレイヤーはお互いに約束を守ることを信頼する必要があり、合意を強制するための仕組みが必要です。合意を拘束力があり、義務的なものにすることで、プレイヤーは共通の目標を達成できることを保証できます。^{[引用が必要]}

をプレイヤーの空でない連合とします。上の部分ゲームは当然次のように定義されます。 ${\displaystyle S\subsetneq N}$ ${\displaystyle v_{S}:2^{S}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle v_{S}(T)=v(T),\forall ~T\subseteq S.}$

言い換えれば、私たちは単に に含まれる連合に注目するだけです。サブゲームは、大連合に対して定義されたソリューションの概念をより小さな連合に適用できるため便利です。 ${\displaystyle S}$

特性関数はしばしば超加法的であると想定されます(Owen 1995、p. 213)。これは、互いに素な連合の和集合の値が、連合の個々の値の合計よりも小さくないことを意味します。

${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}$いつでも満足。 ${\displaystyle S,T\subseteq N}$${\displaystyle S\cap T=\emptyset }$

より大きな連合はより多くの利益を得る:

${\displaystyle S\subseteq T\Rightarrow v(S)\leq v(T)}$。

これは超加法性から導かれます。つまり、報酬が正規化されると、単独連合の価値はゼロになります。

連合ゲームvは、利得が1か0、つまり連合が「勝つ」か「負ける」かのいずれかである場合に単純であるとみなされる。 ^[6]

同様に、単純ゲームは連合の集合Wとして定義することができ、 Wのメンバーは勝利連合、その他のメンバーは敗北連合と呼ばれます。単純ゲームは空ではない、または空集合を含まないと想定されることがあります。ただし、数学の他の分野では、単純ゲームはハイパーグラフまたはブール関数(論理関数) とも呼ばれます。

• 単純ゲームWが単調であるのは、勝利している連合を含む任意の連合も勝利している場合、つまり でありを意味する場合です。${\displaystyle S\in W}$${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle T\in W}$
• 単純ゲームWが適切であるとは、任意の勝利連合の補数（反対）が負けている場合、つまり を意味する場合です。${\displaystyle S\in W}$${\displaystyle N\setminus S\notin W}$
• 単純なゲームWが強いとは、負けている連合の補連合が勝っている場合、つまり を意味する場合です。 ${\displaystyle S\notin W}$${\displaystyle N\setminus S\in W}$
  • 単純ゲームWが適切かつ強い場合、連合が勝つのは、その補ゲームが負けている場合のみ、つまり、の場合に限ります 。( v が、任意のSに対して、適切かつ強い連合単純ゲームである場合。)${\displaystyle S\in W}$${\displaystyle N\setminus S\notin W}$${\displaystyle v(S)=1-v(N\setminus S)}$
• 単純ゲームにおける拒否権プレイヤー（拒否者）は、すべての勝利連合に属するプレイヤーです。拒否権プレイヤーがいると仮定すると、拒否権プレイヤーを含まない連合は負けています。単純ゲームWは、拒否権プレイヤーがいる場合、つまりすべての勝利連合の共通部分が空でない場合、弱い（協調的）ゲームです。 ${\displaystyle \bigcap W:=\bigcap _{S\in W}S}$
  • 単純なゲームにおける独裁者は拒否権を持つプレイヤーであり、このプレイヤーを含む連合はいずれも勝利する。独裁者は敗北する連合には属さない。(実験経済学における独裁者ゲームはこれとは無関係である。)
• 単純ゲームWのキャリアとは、任意の連合Sについて、次が成り立つ集合です。単純ゲームにキャリアがある場合、そのゲームに属していないプレイヤーは無視されます。単純ゲームは、キャリアが有限である場合 ( Nが無限であっても)、有限ゲームと呼ばれることがあります。${\displaystyle T\subseteq N}$${\displaystyle S\in W}$${\displaystyle S\cap T\in W}$
• 単純なゲームにおける中村数は、交差が空である勝利連合の最小数です。中村の定理によれば、この数は合理性の度合いを測るものであり、集約ルールが明確に定義された選択肢をどの程度生み出せるかを示す指標です。

上記の公理の間には、次のようないくつかの関係が広く認識されている（例えば、Peleg、2002、セクション2.1 ^[7]）。

• 単純なゲームが弱い場合は、適切です。
• 単純なゲームは、強いか弱いかのどちらかである場合にのみ独裁的になります。

より一般的には、4つの従来の公理（単調性、適切性、強さ、非弱さ）、有限性、アルゴリズムの計算可能性^[8]の関係についての完全な調査 が行われており（Kumabe and Mihara、2011 ^[9]）、その結果は以下の表「単純なゲームの存在」にまとめられています。

単純ゲームに対する様々な公理がナカムラ数に課す制約も広く研究された。^{[11]特に、拒否権を持つプレイヤーがいない計算可能な単純ゲームは、それが}適切かつ非強ゲーム である場合にのみ、ナカムラ数が3より大きい。

G を戦略的（非協力的）ゲームとする。連合が協調行動を強制する能力を持っていると仮定すると、 G に関連するいくつかの協力ゲームが存在する。これらのゲームはしばしばG の表現と呼ばれる。2つの標準的な表現は以下の通りである: ^[12]

• α 有効ゲームでは、各連合に、そのメンバーが力を合わせることで「保証」できる利益の合計が関連付けられます。「保証」とは、値が最大最小、つまり反対派の戦略で採用された最小値の最大値であることを意味します。
• β 効果ゲームでは、各連合に、そのメンバーが力を合わせることで「戦略的に保証」できる利益の合計が関連付けられます。「戦略的に保証」とは、値が最小最大、つまり反対派の戦略で取られた最大値の最小値であることを意味します。

協力ゲーム理論の主な前提は、大連合が形成されるということである。^[13]課題は、何らかの方法でプレイヤー間で報酬を分配することである。(この前提は制限的ではない。なぜなら、プレイヤーが分裂して小さな連合を形成したとしても、実際に形成される連合によって定義されるサブゲームにソリューションコンセプトを適用できるからである。)ソリューションコンセプトは、各プレイヤーへの配分を表すベクトル(またはベクトルの集合)である。研究者は、公平性の異なる概念に基づいて、さまざまなソリューションコンセプトを提案してきた。ソリューションコンセプトに求められる特性には、次のものがある。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle v(N)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$

• 効率: ペイオフベクトルは合計値を正確に分割します: 。${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$
• 個人の合理性: どのプレイヤーも、自分自身で得られるものよりも少ない金額を受け取ることはありません。${\displaystyle x_{i}\geq v(\{i\}),\forall ~i\in N}$
• 存在: どのゲームにもソリューション コンセプトが存在します。${\displaystyle v}$
• 独自性: ソリューションのコンセプトはどのゲームでもユニークです。${\displaystyle v}$
• 限界性: プレイヤーの利得は、このプレイヤーの限界貢献度のみによって決まります。つまり、これらの限界貢献度が 2 つの異なるゲームで同じであれば、利得も同じになります。つまり、および ではが同じであることを意味します。${\displaystyle v(S\cup \{i\})=w(S\cup \{i\}),\forall ~S\subseteq N\setminus \{i\}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$
• 単調性: プレイヤーの限界貢献が増加すると、そのプレイヤーの報酬も増加します。つまり、 では が よりも弱く大きくなることを意味します。${\displaystyle v(S\cup \{i\})\leq w(S\cup \{i\}),\forall ~S\subseteq N\setminus \{i\}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$
• 計算の容易さ: ソリューションの概念は効率的に計算できます (つまり、プレーヤーの数に関して多項式時間で計算できます)。${\displaystyle |N|}$
• 対称性: 解決の概念は、対称的なプレイヤー 、 に等しい支払いを割り当てます。2 人のプレイヤー、が対称的である場合は、です。つまり、プレイヤーの 1 人だけを含む任意の連合で、1 人のプレイヤーを他のプレイヤーと交換しても、支払いは変わりません。${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\}),\forall ~S\subseteq N\setminus \{i,j\}}$
• 加法性: 2 つのゲームの合計におけるプレイヤーへの割り当ては、各ゲームにおけるプレイヤーへの割り当ての合計です。数学的には、と がゲームである場合、ゲームは、連合が 2 つのゲームで得るであろう報酬の合計を、任意の連合に単に割り当てるだけです。加法的なソリューションの概念では、各プレイヤーに、と で受け取るであろう報酬の合計が割り当てられます。${\displaystyle v}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle (v+\omega )}$${\displaystyle (v+\omega )}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \omega}$
• ヌル プレイヤーへの割り当てはゼロ: ヌル プレイヤーへの割り当てはゼロです。ヌル プレイヤーは を満たします。経済的には、ヌル プレイヤーを含まない連合に対するヌル プレイヤーの限界価値はゼロです。${\displaystyle i}$${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S),\forall ~S\subseteq N\setminus \{i\}}$

効率的なペイオフ ベクトルは事前代入と呼ばれ、個別に合理的な事前代入は代入と呼ばれます。ほとんどのソリューション コンセプトは代入です。

ゲームの安定集合（フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの解（フォン・ノイマン＆モルゲンシュテルン 1944）としても知られる）は、2人以上のプレイヤーがいるゲームに対して提案された最初の解であった。 をゲームとし、 、の2つの帰属をそれぞれとすると、ある連合がおよびを満たす場合、 が優位となる。言い換えれば、 のプレイヤーはからの報酬よりも からの報酬を好み、 が使用される場合、プレイヤーは大連合を離脱すると脅すことができる。なぜなら、 が単独で得る報酬は のもとで受け取る配分と少なくとも同じ大きさだからである。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle S\neq \emptyset }$${\displaystyle x_{i}>y_{i},\forall ~i\in S}$${\displaystyle \sum _{i\in S}x_{i}\leq v(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

安定セットとは、次の 2 つの特性を満たす補完セットです。

• 内部安定性: 安定したセット内のどのペイオフ ベクトルも、セット内の別のベクトルによって支配されません。
• 外部安定性: セット外のすべてのペイオフ ベクトルは、セット内の少なくとも 1 つのベクトルによって支配されます。

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、安定集合を社会において許容される行動の集合とみなしました。つまり、ある行動が他の行動よりも明らかに好ましいということはありません。しかし、許容されない行動にはそれぞれ好ましい代替行動があります。この定義は非常に一般的なため、この概念はさまざまなゲーム形式で使用できます。^{[引用が必要]}

• 安定集合は存在する場合も存在しない場合もあります (Lucas 1969)。また、存在する場合も通常は一意ではありません (Lucas 1992)。安定集合を見つけるのは通常困難です。この困難やその他の困難により、他の多くのソリューション コンセプトが開発されました。
• 協力ゲームの正の割合は、コアからなる一意の安定セットを持ちます(Owen 1995、p. 240)。
• 協力ゲームの正の割合は、プレイヤーを差別する安定したセットを持っています。そのようなセットでは、少なくとも差別されたプレイヤーは排除されます (Owen 1995、p. 240)。${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$

をゲームとする。その核となるのは、報酬ベクトルの集合である。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle C(v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:\sum _{i\in N}x_{i}=v(N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S),\forall ~S\subseteq N\right\}.}$

言葉で言えば、コアとは、どの連合もそのメンバーの利益の合計よりも大きな価値を持たない帰属の集合です。したがって、どの連合も大連合を離れてより大きな利益を得る動機を持ちません。

• ゲームのコアは空である場合があります (ボンダレバ・シャプレーの定理を参照) 。空でないコアを持つゲームはバランスが取れていると呼ばれます。
• 空でない場合、コアには必ずしも一意のベクトルが含まれるわけではありません。
• コアは任意の安定集合に含まれ、コアが安定している場合、それは唯一の安定集合です。証明については (Driessen 1988) を参照してください。

単純なゲームでは、各プレイヤーが選択肢の集合に対して選好を持っていると仮定した場合、コアという別の概念があります。プロファイルは、上の個人の選好のリストです。ここで、 は、個人がプロファイル で代替案 を好むことを意味します。単純なゲームとプロファイル が与えられた場合、すべての に対して を満たす勝利連合 (つまり、 ) が存在する場合のみ、 上の優位関係が によって定義されます。選好のプロファイルに関する単純なゲームのコアは、 によって優位にならない選択肢の集合(に関する の最大要素の集合) です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p=(\succ _{i}^{p})_{i\in N}}$${\displaystyle \succ _{i}^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\succ _{i}^{p}y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\succ _{v}^{p}y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle v(S)=1}$${\displaystyle x\succ _{i}^{p}y}$${\displaystyle i\in S}$ ${\displaystyle C(v,p)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \succ _{v}^{p}}$

${\displaystyle x\in C(v,p)}$が存在しない場合に限ります。${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle y\succ _{v}^{p}x}$

単純ゲームの ナカムラ数は、空の交差点を持つ勝利連合の最小数です。ナカムラの定理は、が有限での基数（要素の数）がのナカムラ数より小さい場合、かつその場合に限り、非循環（または推移的）な好みのすべてのプロファイルに対してコアが空でないことを述べています。 隈部と三原による変形では、の 基数が のナカムラ数より小さい場合、かつその場合に限り、最大要素を持つ好みのすべてのプロファイルに対してコアが空でないことを述べています。（詳細については、ナカムラ数を参照してください。） ${\displaystyle C(v,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v}$${\displaystyle C(v,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v}$

核は空である可能性があるため、一般化は(Shapley & Shubik 1966)で導入された。ある数の強い核は${\displaystyle \varepsilon }$、ペイオフベクトルの集合である。 ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle C_{\varepsilon }(v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:\sum _{i\in N}x_{i}=v(N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)-\varepsilon ,\forall ~S\subseteq N\right\}.}$

経済学の用語では、強い-コアとは、離脱に対して のペナルティを支払わなければならない場合、どの連合も大連立を離脱することでその見返りを改善できない事前帰属の集合である。は負の可能性があり、その場合には大連立を離脱することに対するボーナスを表す。明らかに、コアが空であるかどうかに関わらず、強い-コアは が十分に大きい値の場合には空でなくなり、 が十分に小さい（おそらく負の）値の場合には空になる。この論理に従うと、 (Maschler、Peleg、Shapley 1979) で導入された最小コア は、空でないすべての強い -コアの共通部分である。これは、集合を空でなくなる の最小値の強い -コアと見なすこともできる(Bilbao 2000)。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

シャプレー値とは、効率的で対称的であり、単調性を満たす唯一のペイオフベクトルである。^{[14]これは}ロイド・シャプレー（シャプレー 1953）によって導入され、効率的で対称的であり、加法的であり、ダミープレイヤーにゼロのペイオフを割り当てる唯一のペイオフベクトルであることを示した。超加法的ゲームのシャプレー値は個別には合理的であるが、これは一般には当てはまらない。（ドリセン 1988）

をゲームとし、を効率的な利得ベクトルとする。プレイヤーiのプレイヤーjに対するxに関する最大余剰は ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle s_{ij}^{v}(x)=\max \left\{v(S)-\sum _{k\in S}x_{k}:S\subseteq N\setminus \{j\},i\in S\right\},}$

プレイヤーi が大連合Nから撤退することで、プレイヤーjの協力なしに、利得ベクトルxのもとで得られる最大額。ただし、 i の撤退連合の他のプレイヤーはxのもとで利得に満足していると仮定する。最大余剰は、あるプレイヤーが他のプレイヤーに対してどの程度交渉力を持っているかを測定する方法である。の核は、次の式を満たす 帰属xの集合である。${\displaystyle v}$

• ${\displaystyle (s_{ij}^{v}(x)-s_{ji}^{v}(x))\times (x_{j}-v(j))\leq 0}$、 そして
• ${\displaystyle (s_{ji}^{v}(x)-s_{ij}^{v}(x))\times (x_{i}-v(i))\leq 0}$

プレイヤーiとjのすべてのペアについて。直感的に、の場合、プレイヤーi は帰属xに関してプレイヤーjよりも交渉力が高いが、 の場合、プレイヤーjは自分でこの利得を得ることができるため、プレイヤーi の脅威の影響を受けない。カーネルには、どのプレイヤーも他のプレイヤーに対してこの交渉力を持たないすべての帰属が含まれる。このソリューションの概念は、(Davis & Maschler 1965) で初めて導入された。 ${\displaystyle s_{ij}^{v}(x)>s_{ji}^{v}(x)}$${\displaystyle x_{j}=v(j)}$

ハーサニ配当（1963年にシャプレー値を一般化するために使用したジョン・ハーサニにちなんで名付けられた^[15]）は、協力ゲームにおけるプレイヤーの連合によって生み出される余剰を特定する。この余剰を特定するために、この連合の価値は、サブ連合によってすでに生み出されている余剰によって補正される。この目的のために、ゲームにおける連合の配当は、再帰的に次のように決定される。 ${\displaystyle d_{v}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{v}(\{i\})&=v(\{i\})\\d_{v}(\{i,j\})&=v(\{i,j\})-d_{v}(\{i\})-d_{v}(\{j\})\\d_{v}(\{i,j,k\})&=v(\{i,j,k\})-d_{v}(\{i,j\})-d_{v}(\{i,k\})-d_{v}(\{j,k\})-d_{v}(\{i\})-d_{v}(\{j\})-d_{v}(\{k\})\\&\vdots \\d_{v}(S)&=v(S)-\sum _{T\subsetneq S}d_{v}(T)\end{aligned}}}$

被除数の明示的な式は で与えられます。この関数はのメビウス逆関数としても知られています。^[16]実際、式 の助けを借りてを回復することができます。 ${\textstyle d_{v}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S\setminus T|}v(T)}$${\displaystyle d_{v}:2^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle d_{v}}$${\textstyle v(S)=d_{v}(S)+\sum _{T\subsetneq S}d_{v}(T)}$

Harsanyi 配当は、ゲームとソリューションの概念の両方を分析するのに役立ちます。たとえば、 Shapley 値は、各連合の配当をそのメンバー間で分配することによって得られます。つまり、ゲーム内のプレイヤーのShapley 値は、プレイヤーが属するすべての連合の配当のシェアを合計することによって得られます。 ${\displaystyle \phi _{i}(v)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\textstyle \phi _{i}(v)=\sum _{S\subset N:i\in S}{d_{v}(S)}/{|S|}}$

をゲームとし、を利得ベクトルとします。連合のの超過は量、つまり、連合のプレイヤーが利得 のもとで大連合から脱退し、代わりに利得 を受け取った場合に得られる利得です。の核小体は、すべての連合の超過のベクトル ( 内のベクトル) がレキシミン順序で最小となる帰属です。核小体は (Schmeidler 1969) で導入されました。 ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq N}$${\displaystyle v(S)-\sum _{i\in S}x_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v(S)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2^{N}}}$

(Maschler、Peleg、Shapley 1979) は、より直感的な説明をしています。コアが最も小さいものから始めて、定義の不等式の右辺をこれ以上減らすと集合が空になるような連合を記録します。残りの連合についても、集合が空にならないと減らせないようになるまで右辺を減らし続けます。不等式が等しい新しい連合のセットを記録し、残りの連合についても右辺を減らし続けます。このプロセスを、すべての連合が記録されるまで必要な回数だけ繰り返します。結果として得られるペイオフ ベクトルが核小体です。 ${\displaystyle C_{\varepsilon }(v)}$

• 定義では明示的に述べられていないが、核小体は常に一意である。（証明については、（Driessen 1988）のセクション II.7 を参照。）
• 核が空でない場合、核小体は核の中にあります。
• 核小体は常に核内にあり、核は交渉集合に含まれているため、核小体は常に交渉集合内にあります (詳細については (Driessen 1988) を参照)。

Shapleyによって (Shapley 1971) で導入された凸協力ゲームは、一部のゲームが持つ「スノーボール」という直感的な特性を捉えています。具体的には、特性関数がスーパーモジュラーである場合、ゲームは凸です。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(S\cup T)+v(S\cap T)\geq v(S)+v(T),\forall ~S,T\subseteq N.}$

のスーパーモジュラリティは次式と等価であること が示される（例えば、(Driessen 1988)のセクションV.1を参照）。${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)\leq v(T\cup \{i\})-v(T),\forall ~S\subseteq T\subseteq N\setminus \{i\},\forall ~i\in N;}$

つまり、「連合が大きくなるにつれて、連合に参加するインセンティブが増加する」（Shapley 1971）ため、前述の雪だるま効果が発生します。コストゲームの場合、不等式は逆転するため、特性関数がサブモジュラーである場合、コストゲームは凸であると言えます。

凸協力ゲームには多くの優れた特性があります。

• 超モジュラ性は、自明に超加法性を意味します。
• 凸ゲームは完全にバランスが取れています。凸ゲームのコアは空ではなく、凸ゲームのサブゲームはいずれも凸であるため、サブゲームのコアも空ではありません。
• 凸ゲームには、そのコアと一致する一意の安定集合があります。
• 凸ゲームのシャプレー値は、そのコアの重心です。
• コアの極点（頂点）は、貪欲アルゴリズムを使って多項式時間で見つけることができます。 をプレイヤーの順列とし、を任意の について において で順序付けられたプレイヤーの集合とします。このとき、によって定義されるペイオフは のコアの頂点です。適切な順列を選択することで、コアの任意の頂点をこのように構築できます。${\displaystyle \pi :N\to N}$${\displaystyle S_{i}=\{j\in N:\pi (j)\leq i\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle x_{i}=v(S_{\pi (i)})-v(S_{\pi (i)-1}),\forall ~i\in N}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \pi }$

サブモジュラ集合関数とスーパーモジュラ集合関数も、組み合わせ最適化で研究されています。(Shapley 1971)の結果の多くは、サブモジュラ関数がマトロイドの一般化として初めて提示された(Edmonds 1970)に類似しています。この文脈では、凸コストゲームの核は基本多面体と呼ばれます。その要素がマトロイドの基本特性を一般化するためです。

しかし、最適化コミュニティでは、一般的にサブモジュラー関数は凸関数の離散類似物であると考えられています (Lovász 1983)。これは、両方のタイプの関数の最小化が計算的に扱いやすいためです。残念ながら、これは、スーパーモジュラー関数を「凸」と定義したShapley の元の定義と直接矛盾します。

企業の戦略的意思決定は、協力ゲーム理論を通じて価値を生み出し、発展させることができる。^[17]これは、協力ゲーム理論が企業の戦略理論となり、異なるCGTソリューションが異なる制度をシミュレートできることを意味する。

• 合意に基づく意思決定
• コーディネーションゲーム
• 家庭内交渉
• 快楽ゲーム
• リニア生産ゲーム
• 最小コスト スパニング ツリー ゲーム- 協力ゲームの一種。

• ビルバオ、ヘスス・マリオ（2000）、組合せ構造上の協力ゲーム、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、ISBN 9781461543930

• デイビス、M.;マシュラー、M. (1965)、「協力ゲームの核」、海軍研究ロジスティクス四半期誌、12 (3): 223–259、doi :10.1002/nav.3800120303

• ドリセン、テオ（1988）、協力ゲーム、ソリューションとアプリケーション、クルーワーアカデミックパブリッシャーズ、ISBN 9789401577878

• エドモンズ、ジャック(1970)、「サブモジュラー関数、マトロイド、および特定の多面体」、ガイ、R.、ハナニ、H.、ザウアー、N.、シェーンハイム、J. (編)、組み合わせ構造とその応用、ニューヨーク: ゴードン アンド ブリーチ、pp. 69–87

• Lovász, László (1983)、「劣モジュラー関数と凸性」、Bachem, A.、Grötschel, M.、Korte, B. (編)、Mathematical Programming—The State of the Art、ベルリン: Springer、pp. 235–257

• レイトン・ブラウン、ケビン、ショーハム、ヨアブ（2008）、ゲーム理論の基礎：簡潔で学際的な入門、サンラファエル、カリフォルニア州：モーガン＆クレイプール出版社、ISBN 978-1-59829-593-188 ページの数学入門書。第 8 章を参照してください。オンラインで無料(サブスクリプションが必要)多くの大学のWayback Machineで 2000-08-15 にアーカイブされています。

• ルーカス、ウィリアム F. (1969)、「ゲームに解がない可能性があるという証明」、アメリカ数学会誌、136 :219–229、doi : 10.2307/1994798、JSTOR  1994798。

• Lucas、William F. (1992)、「Von Neumann-Morgenstern Stable Sets」、Aumann、Robert J. ; Hart、Sergiu (編)、『ゲーム理論ハンドブック』第 1 巻、アムステルダム:エルゼビア、543–590 ページ

• Luce, RDおよびRaiffa, H. (1957) Games and Decisions: An Introduction and Critical Survey、Wiley & Sons。(第 8 章を参照)
• Maschler, M. ; Peleg, B.; Shapley, Lloyd S. (1979)、「核、核小体、および関連する解の概念の幾何学的特性」、オペレーションズリサーチの数学、4 (4): 303–338、doi :10.1287/moor.4.4.303

• Osborne, MJ およびRubinstein, A. (1994) A Course in Game Theory、MIT Press (第 13、14、15 章を参照)
• ムーラン、エルヴェ（1988）、協調的意思決定の公理（第1版）、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-42458-5

• オーウェン、ギジェルモ（1995）、ゲーム理論（第3版）、サンディエゴ：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-531151-9

• Schmeidler, D. (1969)、「特性関数ゲームの核小体」、SIAM Journal on Applied Mathematics、17 (6): 1163–1170、doi :10.1137/0117107。

• シャプレー、ロイド S. (1953)、「-人ゲームの価値」、クーン、H.、タッカー、AW (編)、ゲーム理論への貢献 II、プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版、pp. 307-317${\displaystyle n}$

• シャプレー、ロイド S. (1952 年 3 月 18 日)、「N 人ゲームの価値」、カリフォルニア州サンタモニカ: RAND コーポレーション

• シャプレー、ロイド S. (1971)、「凸ゲームの核」、国際ゲーム理論ジャーナル、1 (1): 11–26、doi :10.1007/BF01753431、S2CID  123385556

• シャプレー、ロイド S. ; シュビック、M. (1966)、「非凸選好による貨幣経済における準コア」、エコノメトリカ、34 (4): 805–827、doi :10.2307/1910101、JSTOR  1910101

• ショーハム、ヨアブ、レイトンブラウン、ケビン（2009）、マルチエージェントシステム：アルゴリズム、ゲーム理論的、論理的基礎、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-89943-7計算の観点から見た包括的なリファレンス。第 12 章を参照してください。オンラインで無料でダウンロードできます。

• フォン・ノイマン、ジョン、モルゲンシュテルン、オスカー（1944）、「ゲーム理論と経済行動」、ネイチャー、157（3981）、プリンストン：プリンストン大学出版局：172、Bibcode：1946Natur.157..172R、doi：10.1038/157172a0、S2CID  29754824

• Yeung、David WK、Leon A. Petrosyan。協力的確率微分ゲーム（Springer Series in Operations Research and Financial Engineering）、Springer、2006年。ソフトカバー - ISBN 978-1441920942。 
• Yeung、David WK、Leon A. Petrosyan。サブゲーム整合経済最適化：高度な協力的動的ゲーム分析（静的および動的ゲーム理論：基礎と応用）、Birkhäuser Boston、2012年。ISBN 978-0817682613 

• 「協力ゲーム」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]