リニア生産ゲーム

線形生産ゲーム（LPゲーム）は、線形計画問題を解くことによって連合の価値を得ることができるN人ゲームです。これは、リソースの割り当てと利益分配のコンテキストで広く使用されています。数学的には、m種類のリソースがあり、それらからn個の製品を生産できます。製品jには、 k番目のリソースの量が必要です。製品は特定の市場価格で販売できますが、リソース自体は販売できません。N人のプレーヤーのそれぞれに、リソースのベクトルが与えられます。連合Sの価値は、そのメンバーが所有するすべてのリソースで達成できる最大利益です。これは、次のように対応する線形計画問題を解くことで取得できます。 ${\displaystyle a_{k}^{j}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$${\displaystyle {\vec {b^{i}}}=(b_{1}^{i},...,b_{m}^{i})}$ ${\displaystyle P(S)}$

すべての LP ゲームv は完全にバランスの取れたゲームです。したがって、vのすべてのサブゲームには空でないコアがあります。の双対問題を解くことで、1 つの代入を計算できます。を の最適な双対解とします。プレイヤーiの利得はです。これは、 vのコアにあるという双対性定理によって証明できます。 ${\displaystyle P(N)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle P(N)}$${\displaystyle x^{i}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}b_{k}^{i}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

帰属の重要な解釈は、現在の市場では、各リソースjの価値は、それ自体には価値がないにもかかわらず、正確に であるということです。したがって、あるプレイヤー i が受け取るべき報酬は、そのプレイヤーが所有するリソースの合計価値です。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle \alpha_{j}}$

ただし、コア内のすべての代入が最適なデュアル ソリューションから取得できるわけではありません。この問題については多くの議論があります。最も広く使用されている方法の 1 つは、元の問題の r 倍の複製を検討することです。すべての r に対して r 倍の複製ゲームのコアに代入uがある場合、u は最適なデュアル ソリューションから取得できることが示されます。

• オーウェン、ギジェルモ（1975）「線形生産ゲームの核心について」、数学プログラミング、9、数学プログラミング：358〜370、doi：10.1007 / BF01681356