帰属（ゲーム理論）

完全協力ゲームでは、プレイヤーは、報酬の価値が単独で作業する場合と同等かそれ以上である場合に、連合を形成することを選択します。^{[1]ゲームの焦点は、大連合の報酬の許容可能な分配を見つけることです。プレイヤーが他の誰とも協力せずに単独で得られるよりも少ない報酬を受け取る分配は受け入れられません。これは、}個人合理性と呼ばれる状態です。帰属は、効率的で個別に合理的な分配です。

2人用ゲームの場合、代入集合はコアと一致する。コアは、グループ偏差に対する安定性から広く研究されている概念である。^[2]コアは協力ゲームの解概念であり、複数の代入、つまりゲームの結果としての分布の集合から構成される。コアはいかなる連合によっても改善されない。^[3]ただし、代入集合の選択に関しては問題が発生し、交渉が必要になる。

協力的交渉の一種であるナッシュ交渉理論は、2人用ゲームの問題を解決するために使用されますが、2人以上のプレイヤーを使用するゲームでは結果が得られません。^[2]この解決法は、両方のプレイヤーの利益を最大化することを目的としています。^[3]これらのゲームの解決策を計算するためのさらに2つの方法は、シャプレー値とシュメイドラーの核小体です。^[2]

これらの計算は両方とも結果に問題がある。シャプレーの値から計算された結果は、コアの制約から外れる可能性がある。シュメイドラーの核小体は、コアがゼロの場合には計算できない。しかし、シュメイドラーの核小体は、交渉力が等しいと仮定して計算されるが、これは外部の影響から生じる交渉力の違いを考慮していないため、ほとんどの状況では非現実的である。^[2]シュメイドラーの核小体は、最大超過を最小化する補完、つまり最小最大関数を指す。しかし、シュメイドラーの核小体の定義は、ゲーム内の超過の増加集約関数を最小化することで、他の関数にも拡張できる。^[2]

他の解法としては、カライ＝スモロジンスキー解法とカライの平等主義解法がある。カライ＝スモロジンスキー解法はプレイヤーの理想的な利益に比例する報酬を計算するが、カライの平等主義解法はプレイヤーの利益を均等化する。^[3]

協力的動的ゲームの理論における重要な問題は、与えられた代入関数の時間一貫性です（ロシアの文献では、最適性原理の動的安定性と呼ばれています）。ゲームの開始時に、何人かのプレーヤーが協力協定を結んだとします。明らかに、合理的なプレーヤーは、以前に何が発表されていたかに関係なく、放棄することでより良い結果が得られる場合は、協定を離れます。協力協定の持続を保証する条件は、時間一貫性として知られています。IDP（代入分配手順）に基づくいくつかの正規化方法（積分および微分）が提案されました。

アーノルド夫人とバウアー夫人は手袋を編んでいます。手袋はフリーサイズで、2つで1組になり、5ユーロで販売しています。2人はそれぞれ3つの手袋を作りました。2人は販売による収益をどのように分配するのでしょうか。この問題は、次の特性関数を持つ特性関数形式のゲームで説明できます。各女性は3つの手袋、つまり1組の市場価値が5ユーロです。2人を合わせると6つの手袋、つまり3組の手袋になり、市場価値は15ユーロです。この合計の分配は帰属であり、どの女性も5ユーロ未満しか得られず、これは彼女たちが自分で達成できる金額です。たとえば、(7.5, 7.5)は帰属ですが、(5, 10)や(9, 6)も帰属です。

この例は一般化できます。カールソン夫人とドラクロワ夫人もクラブのメンバーで、各女性が手袋を 3 枚ずつ作ったとします。これで合計は 12 枚 (6 組) になり、合計は 30 ユーロになります。同時に、女性の 1 人が単独で作れるのは依然として 5 ユーロだけです。したがって、誰も 5 ユーロ未満にならないように、代入によって 30 ユーロを分配します。代入の可能な例は、(7.5、7.5、7.5、7.5)、(10、5、10、5)、(5、15、5、5)、または (7、5、9、9) です。

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