バナッハの不動点定理

数学において、バナッハの不動点定理（バナッハのふどうじょうりょく、英: Banach de situation ...^​​​​^​​

定義。 を距離空間とする。そのとき、 X上の写像が縮約写像と呼ばれるのは、 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle q\in [0,1)}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

全ての${\displaystyle x,y\in X.}$

バナッハの不動点定理。 を、収縮写像を持つ空でない完全な距離空間とします。このとき、T はXに一意の不動点(つまり) を許容します。さらに、は次のようにして見つけることができます。任意の要素から始めて、 について によってシーケンスを定義します。このとき。${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\geq 1.}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

注1.次の不等式は同値であり、収束の速度を表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$

qのそのような値は のLipschitz 定数と呼ばれ、最小の値は の「最良の Lipschitz 定数」と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

注2. 一般に、すべての場合において不動点の存在を保証するには不十分であり、これは写像によって示される。 ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$

不動点がない。しかし、がコンパクトであれば、この弱い仮定は不動点の存在と一意性を意味し、 の最小化として簡単に見つけることができる。実際、最小化はコンパクト性によって存在し、 の不動点でなければならない。すると、不動点は の任意の反復シーケンスの極限であることが容易にわかる。${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,T(x))}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle T.}$

注3.実際に定理を使用する場合、最も難しいのは、${\displaystyle X}$${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$

を任意のものとし、 と設定してシーケンスを定義する。まず、すべての に対して不等式が成り立つ ことに注意する。${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

これは、 が縮約写像であるという事実を用いて、についての帰納法により導かれます。次に、 がコーシー列であることを示します。特に、が となるものとします。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

を任意とします。 なので、となる 大きな が見つかります。${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q\in [0,1)}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

したがって、およびより大きいを選択すると、次のように記述できます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

これは、数列がコーシーであることを証明します。 の完全性により、数列には極限があります。 さらに、は の不動点である必要があります。 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle x^{*}\in X.}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

縮約写像として、は連続なので、極限を 内に持ち込むことは正当化されます。最後に、と の異なる不動点の任意のペアはの縮約と矛盾するため、には 1 つ以上の不動点を持つことはできません。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

• 標準的な応用は、特定の常微分方程式の解の存在と一意性に関するピカール・リンデレーフの定理の証明です。微分方程式の求められている解は、一様ノルムの下で連続関数の空間上の適切な積分演算子の不動点として表現されます。次に、バナッハの不動点定理を使用して、この積分演算子が一意の不動点を持つことを示します。
• バナッハの不動点定理の帰結の1つは、恒等写像の小さなリプシッツ摂動は双リプシッツ同相写像であるということである。Ωをバナッハ空間Eの開集合とし、I  :Ω→ Eを恒等写像(包含写像)とし、g  :Ω→ Eを定数k <1のリプシッツ写像とする。すると

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) はEの開集合である。つまり、B ( x , r ) ⊂ Ωとなるような Ω 内の任意のxに対して、 B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′が成立する。
2. I + g  : Ω → Ω' はバイリプシッツ同相写像です。

正確には、( I + g ) ^{−1は依然として}I + h  :Ω → Ω′の形をとり、 hは定数k /(1 −  k )のリプシッツ写像である。この結果の直接的な帰結として、逆関数定理の証明が得られる。

• これは、ニュートンの逐次近似法が確実に機能するための十分な条件を与えるために使用でき、同様にチェビシェフの 3 次法にも使用できます。
• 積分方程式の解の存在と一意性を証明するために使用できます。
• これはナッシュ埋め込み定理の証明に使用できる。^[4]
• これは、強化学習における価値反復、ポリシー反復、ポリシー評価に対する解の存在と一意性を証明するために使用できます。^[5]
• これはクールノー競争[ 6 ^]やその他の動的経済モデルにおける均衡の存在と一意性を証明するために使用できます。^[7]

バナッハの収縮原理の逆はいくつか存在します。以下は 1959 年に Czesław Bessaga が提唱したものです。

f  : X → X を抽象集合の写像とし、各反復 f ^{n が}一意の不動点を持つものとします。すると、 X上に完全な計量が存在し、 fは収縮的であり、q は収縮定数であるとします。 ${\displaystyle q\in (0,1),}$

実際、このような逆を得るには非常に弱い仮定で十分です。たとえば、が唯一の不動点aを持つT ₁位相空間上の写像で、それぞれに対してf ⁿ ( x ) → a が成り立つ場合、 X上には、縮約定数 1/2 を持つバナッハ縮約原理の条件を満たすfに関する計量が既に存在します。 ^[8]この場合、計量は実際には超計量です。 ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$

一般化は数多くある（そのうちのいくつかは直接的な帰結である）。^[9]

T  : X → X を完全な空でない距離空間上の写像とする。このとき、例えばバナッハの不動点定理の一般化は次のようになる。

• Tの何らかの反復T ^{n が}縮約であると仮定します。その場合、T には一意の不動点があります。
• 各nに対して、任意のxとyに対してd ( T ⁿ ( x ), T ⁿ ( y )) ≤ c _n d ( x , y )を満たすc _{n が}存在し、

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

すると、T には一意の不動点が存在します。

応用においては、不動点の存在と一意性は、写像T を縮約する測定基準を適切に選択することで、標準的なバナッハの不動点定理で直接示すことができる場合が多い。実際、Bessaga による上記の結果は、そのような測定基準を探すことを強く示唆している。一般化については、無限次元空間における不動点定理に関する記事も参照のこと。

異なる種類の一般化は、例えば距離空間の概念の定義公理を弱めることによって、距離空間の概念を適切に一般化することによって生じます。^[10]これらのいくつかは、例えば理論計算機科学におけるプログラミング意味論の理論に応用されています。^[11]

バナッハの不動点定理と不動点反復法を応用すると、πの近似値を高精度で素早く得ることができます。関数 を考えてみましょう。π はfの不動点であり、f は区間をそれ自身に写像することが確認できます。さらに、であり、次のことが確認できます。 ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}$${\displaystyle \left[3\pi /4,5\pi /4\right]}$${\displaystyle f'(x)=1+\cos(x)}$

${\displaystyle 0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}$

この区間上では、 となります。したがって、平均値定理を適用すると、f は1 未満のリプシッツ定数を持ちます (つまり)。バナッハの不動点定理を適用すると、不動点π が区間上の唯一の不動点であることが示され、不動点反復法を使用することができます。 ${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$

例えば、固定小数点反復を開始する値として3が選択される場合がある。バナッハの固定小数点定理を使用すると、次の結論が得られる。 ${\displaystyle 3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4}$

${\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).}$

f を3 に 3 回適用するだけで、 πの展開は33 桁の精度になります。

${\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}$

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). 「バナッハの縮約原理とその応用」。距離空間における不動点理論。 シンガポール: Springer。 pp. 1–23。doi :10.1007/978-981-13-2913-5_1。ISBN 978-981-13-2912-8。
• チコーネ、カルメン (2006)。「Contraction」。常微分方程式とその応用(第 2 版)。ニューヨーク: シュプリンガー。pp. 121–135。ISBN 0-387-30769-9。
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003).固定点理論. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5。
• Istrăţescu, Vasile I. (1981).不動点理論入門. オランダ: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7。第7章を参照してください。
• カーク、ウィリアム A.; カムシ、モハメド A. (2001)。距離空間と不動点理論入門。ニューヨーク: ジョン ワイリー。ISBN 0-471-41825-0。

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