数学 において 、 複素数 における 単位円板 上の 正の調和関数は、 円周上の 有限の 正測度の ポアソン積分 として特徴付けられる。この結果、すなわち ヘルグロッツ-リース表現定理は、1911 年に グスタフ・ヘルグロッツ と フリジェシュ・リース によって独立に証明された。これは、正の実部を持つ単位円板上の任意の 正則 関数に関連する公式と特徴付けを与えるために使用できる。このような関数は、1907 年に コンスタンティン・カラテオドリによって、 テイラー係数 の 正定値性 によって すでに特徴付けられていた 。
調和関数のヘルグロッツ・リース表現定理 単位円上の 正関数 f （ f （0）= 1）が調和関数となるのは、単位円上に
確率測度 μが存在し、
ふ （ r
e
私 θ
） =
∫
0
2 π
1 −
r
2
1 − 2 r コス （ θ − φ ） +
r
2
d μ （ φ ） 。
{\displaystyle f(re^{i\theta })=\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu (\varphi ).}
この式は、 f (0) = 1
の正の調和関数を明確に定義しています。
逆に、 fが 正で調和的であり、 r nが 1に増加する場合、定義する。
ふ
ん
（ ず ） = ふ （
r
ん
ず ） 。
{\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}
それから
ふ
ん
（ r
e
私 θ
） =
1
2 π
∫
0
2 π
1 −
r
2
1 − 2 r コス （ θ − φ ） +
r
2
ふ
ん
（ φ ） d ϕ =
∫
0
2 π
1 −
r
2
1 − 2 r コス （ θ − φ ） +
r
2
d
μ
ん
（ φ ）
{\displaystyle f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}
どこ
d
μ
ん
（ φ ） =
1
2 π
ふ （
r
ん
e
私 φ
） d φ
{\displaystyle d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi })\,d\varphi }
確率の尺度です。
コンパクト性に関する議論（または、この場合は
スティルチェス積分 に対する ヘリーの選択定理 と同等）によれば、これらの確率測度の部分列には、確率測度 μ でもある弱い極限が存在します。
r n は 1に増加するので、 f n ( z )は f ( z )に近づく ため 、Herglotzの式が成り立ちます。
正則関数に対するヘルグロッツ・リースの表現定理 f (0) = 1となる単位円上の 正則関数 f が正の実部を持つのは、単位円上に確率測度 μ が存在し、
ふ （ ず ） =
∫
0
2 π
1 +
e
− 私 θ
ず
1 −
e
− 私 θ
ず
d μ （ θ ） 。
{\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\ム (\シータ )。}
これは前の定理から次の理由により導かれます。
ポアソン核は上記の積分関数の実部である。 正則関数の実部は調和関数であり、スカラーの加算まで正則関数を決定する。 上記の式は正則関数を定義し、その実部は前の定理によって与えられる。
カラテオドリの正則関数の正値性判定基準 させて
ふ （ ず ） = 1 +
1つの
1
ず +
1つの
2
ず
2
+ ⋯
{\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }
を単位円板上の正則関数とする。すると、 f ( z ) が円板上で正の実部を持つのは、
∑
m
∑
n
a
m
−
n
λ
m
λ
n
¯
≥
0
{\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}
任意の複素数λ 0 , λ 1 , ..., λ N に対して、
a
0
=
2
,
a
−
m
=
a
m
¯
{\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}
m > 0の場合 。
実際、 n > 0
のヘルグロッツ表現から
a
n
=
2
∫
0
2
π
e
−
i
n
θ
d
μ
(
θ
)
.
{\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}
したがって
∑
m
∑
n
a
m
−
n
λ
m
λ
n
¯
=
∫
0
2
π
|
∑
n
λ
n
e
−
i
n
θ
|
2
d
μ
(
θ
)
≥
0.
{\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}
逆にλ n = z n と設定すると、
∑
m
=
0
∞
∑
n
=
0
∞
a
m
−
n
λ
m
λ
n
¯
=
2
(
1
−
|
z
|
2
)
ℜ
f
(
z
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}
参照
参考文献 Carathéodory、C. (1907)、「Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen」、 Math。アン。 、 64 : 95–115、 土井 :10.1007/bf01449883、 S2CID 116695038 Duren, PL (1983)、 Univalent Functions 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 259、シュプリンガー・フェルラーク、 ISBN 0-387-90795-5 Herglotz、G. (1911)、「Über Potenzreihen mitpositim、reellen Teil im Einheitskreis」、 Ber。そうですね。サックス。アカド。ウィス。ライプツィヒ 、 63 : 501–511 Pommerenke, C. (1975)、 Gerd Jensen による二次微分に関する章を含む Univalent Functions 、Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher、vol. 15、ヴァンデンフック＆ルプレヒト Riesz、F. (1911)、「確実なシステムの特異点と方程式の統合」、 アン。科学。 ec.標準。素晴らしい。 、 28 : 33–62、 土井 : 10.24033/asens.633 
