ヒレ・吉田定理

関数解析学において、ヒレ・吉田定理はバナッハ空間上の線型作用素の強連続な1パラメータ半群の生成元を特徴付ける。この定理は収縮半群の特殊なケースについて述べられることもあり、一般的なケースはフェラー・宮寺・フィリップスの定理（ウィリアム・フェラー、宮寺勇、ラルフ・フィリップスにちなんで）と呼ばれる。収縮半群の場合は、マルコフ過程の理論で広く使われている。他のシナリオでは、与えられた作用素が強連続な収縮半群を生成するかどうかを判断する際に、密接に関連したルーマー・フィリップスの定理の方が役立つことが多い。この定理は、1948年頃に独立に結果を発見した 数学者アイナー・ヒレと吉田耕作にちなんで名付けられた。

Xがバナッハ空間である場合、 X上の作用素の1パラメータ半群は、非負の実数{ T ( t )} _t∈[0,∞)で添字付けされた作用素の族であり、

• ${\displaystyle T(0)=I\quad }$
• ${\displaystyle T(s+t)=T(s)\circ T(t),\quad \forall t,s\geq 0.}$

半群は強連続（C ₀）半群とも呼ばれ、写像が

${\displaystyle t\mapsto T(t)x}$

はすべてのx ∈ Xに対して連続であり、[0, ∞)は通常の位相を持ち、X はノルム位相を持つ。

1パラメータ半群Tの無限小生成子は、次のようにXの適切な部分空間上で定義される演算子Aです。

• Aの定義域は、x∈Xの集合であり、

${\displaystyle h^{-1}{\bigg (}T(h)xx{\bigg )}}$

h が右から0に近づくにつれて限界が来ます。

• Axの値は上記の極限の値です。言い換えると、Axは関数の0における右微分です。

${\displaystyle t\mapsto T(t)x.}$

強連続な 1 パラメータ半群の無限小生成子は、Xの稠密な線形部分空間上で定義される閉じた線形演算子です。

ヒレ・ヨシダ定理は、バナッハ空間上の閉じた線形作用素 Aが強連続な 1 パラメータ半群の無限小生成子となるための必要十分条件を提供します。

Aをバナッハ空間Xの線型部分空間D ( A )上で定義された線型作用素とし、ωは実数、M  >0とする。すると、Aは^[1]を満たす強連続半群Tを生成する。 ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}}$

1. A は閉じており、D ( A )はXにおいて稠密である。
2. あらゆる実数λ  >  ωはAの解決集合に属し、そのようなλおよびすべての正の整数nに対して、

${\displaystyle \|(\lambda IA)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}.}$

一般的な場合、Hille-Yosida 定理は主に理論的な重要性を持ちます。定理の記述に現れるレゾルベント演算子のべき乗の推定は、通常、具体的な例で確認できないためです。縮約半群の特殊な場合(上記の定理でM  = 1 およびω = 0) では、 n = 1 の場合のみ 確認する必要があり、定理は実用的な重要性も持ちます。縮約半群に対する Hille-Yosida 定理の明示的な記述は次のとおりです。

Aをバナッハ空間Xの線型部分空間D ( A )上で定義された線型作用素とする。Aが縮約半群を生成するための必要十分条件は、^[2]

1. A は閉じており、D ( A )はXにおいて稠密である。
2. あらゆる実数λ > 0 はA の解決集合に属し、そのようなλに対して、

${\displaystyle \|(\lambda IA)^{-1}\|\leq {\frac {1}{\lambda }}.}$

• C0 半群
• ルーマー・フィリップスの定理
• 1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

• Riesz, F. ; Sz.-Nagy, B. (1995)、関数解析。1955 年のオリジナルの復刻版、Dover Books on Advanced Mathematics、Dover、ISBN 0-486-66289-6
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1975）、現代数理物理学の方法。II.フーリエ解析、自己随伴性。、アカデミックプレス、ISBN 0-12-585050-6
• エンゲル、クラウス・ヨッヘン; ナーゲル、ライナー (2000)、線形発展方程式の 1 パラメータ半群、Springer、ISBN 0-387-98463-1
• アーレント、ヴォルフガング。バティ、チャールズ。ヒーバー、マティアス; Neubrander、Frank (2001)、ベクトル値ラプラス変換とコーシー問題、ビルクハウザー、ISBN 0-8176-6549-8
• Staffans, Olof (2005)、Well-posed linear systems、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-82584-9
• フェラー、ウィリアム（1971）、確率論とその応用入門、第2巻（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-25709-5
• Vrabie, Ioan I. (2003)、C ₀ -半群とその応用、North-Holland Mathematics Studies、第191巻、アムステルダム：North-Holland Publishing、ISBN 0-444-51288-8