Reeb graph

A Reeb graph^[1] (named after Georges Reeb by René Thom) is a mathematical object reflecting the evolution of the level sets of a real-valued function on a manifold.^[2] A similar concept was introduced by G.M. Adelson-Velskii and A.S. Kronrod and applied to analysis of Hilbert's thirteenth problem.^[3][4] Proposed by G. Reeb as a tool in Morse theory,^[5] Reeb graphs are the natural tool to study multivalued functional relationships between 2D scalar fields ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \lambda }$, and ${\displaystyle \phi }$ arising from the conditions ${\displaystyle \nabla \psi =\lambda \nabla \phi }$ and ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, because these relationships are single-valued when restricted to a region associated with an individual edge of the Reeb graph. This general principle was first used to study neutral surfaces in oceanography.^[6]

Reeb graphs have also found a wide variety of applications in computational geometry and computer graphics,^[1][7] including computer aided geometric design, topology-based shape matching,^[8][9][10]topological data analysis,^[11] topological simplification and cleaning, surface segmentation ^[12] and parametrization, efficient computation of level sets, neuroscience,^[13] and geometrical thermodynamics.^[3] In a special case of a function on a flat space (technically a simply connected domain), the Reeb graph forms a polytree and is also called a contour tree.^[14]

Level set graphs help statistical inference related to estimating probability density functions and regression functions, and they can be used in cluster analysis and function optimization, among other things. ^[15]

位相空間Xと連続関数f : X → Rが与えられたとき、ある実数cに対して、 pとqが単一のレベル集合f ^{− 1} ( c )の同じ連結成分に属する場合に限り、 X上に同値関係~を定義する。リープグラフは、商位相を備えた商空間X /~である。    

一般に、この商空間は有限グラフの構造を持たない。滑らかな多様体上の滑らかな関数であっても、リープグラフは一次元ではなく、ハウスドルフ空間ではない場合もある。^{[ 16 ]}

実際、多様体のコンパクト性は重要です。閉じた多様体上の滑らかな関数のリープグラフは、有限グラフとホモトピー同値な1次元ペアノ連続体です。^{[ 16 ]} 特に、有限個の臨界値を持つ閉じた多様体上の滑らかな関数（モース関数、モース・ボット関数、または孤立した臨界点を持つ関数の場合）のリープグラフは、有限グラフの構造を持ちます。^{[ 17 ]}

させて${\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}$閉多様体上の滑らかな関数である${\displaystyle M}$リープグラフの構造${\displaystyle R_{f}}$マニホールドの両方に依存する${\displaystyle M}$そして関数のクラスについて${\displaystyle f}$。

もし${\displaystyle f}$は異なる臨界値を持つモース関数であり、リープグラフはより明確に記述できる。そのノード、すなわち頂点は臨界レベルセットに対応する。${\displaystyle f^{-1}(c)}$弧、すなわち辺がノード／頂点で交わるパターンは、レベルセットのトポロジーの変化を反映している。${\displaystyle f^{-1}(t)}$として${\displaystyle t}$臨界値を通過する${\displaystyle c}$例えば、${\displaystyle c}$最小値または最大値${\displaystyle f}$コンポーネントが作成または破棄されると、対応するノードでアークが開始または終了し、そのノードの次数は1 になります。${\displaystyle c}$はインデックス 1 の鞍点であり、2 つのコンポーネントは${\displaystyle f^{-1}(t)}$マージ先${\displaystyle t=c}$として${\displaystyle t}$が増加すると、リープグラフの対応する頂点の次数は 3 になり、文字「Y」のようになります。インデックスが の場合も同じ推論が適用されます。${\displaystyle c}$は${\displaystyle dimX-1}$そして、${\displaystyle f^{-1}(c)}$二つに分裂する。