4つの電流

特殊相対性理論および一般相対性理論において、4元電流（厳密には4元電流密度）^{[ 1 ]}は、単位面積あたりの時間あたりの電荷の次元を持つ電流密度の4次元アナログです。ベクトル電流とも呼ばれ、時間と3次元空間を分離するのではなく、4次元時空の文脈で使用されます。これは4元ベクトルであり、ローレンツ共変です。

この記事では、添え字に総和の規則を使用しています。添え字の上げ下げに関する背景知識については「ベクトルの共分散と反分散」を、添え字の上げ下げの方法についてはその中の「添え字の上げ下げ」を参照してください。

ミンコフスキー計量を用いる${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$メトリックシグネチャ（+ − − −）の場合、4つの電流成分は次のように与えられます。

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

どこ：

• cは光速です。
• ρは体積電荷密度である。
• jは従来の電流密度である。
• ダミーインデックスαは時空の次元を表します。

特殊相対性理論では、電荷保存の法則は、 Jのローレンツ不変発散がゼロであるというものである。^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

どこ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$は4次元勾配です。これは連続方程式です。

一般相対性理論では、連続の式は次のように表される。

${\displaystyle \nabla _{\alpha }J^{\alpha }=0\,,}$

ここで、∇α_は共変微分である 。

ローレンツゲージ条件が満たされる場合、4元ポテンシャル^{[ 5 ]}を用いて、マクスウェル方程式の2つの等価な定式化に4元電流が現れる。

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

どこ${\displaystyle \Box }$はダランベール演算子、または電磁場テンソルです。

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

ここで、μ _0は自由空間の透過率であり、∇ _αは共変微分である。

4つの電流電荷密度は、量子電磁力学で使用されるラグランジアン密度の重要な構成要素です。^{[ 6 ]} 1956年にセミヨン・ゲルシュタインとヤコフ・ゼルドビッチは、電弱相互作用の保存ベクトル電流（CVC）仮説を検討しました。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

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