条件付きロジック

与えられた条件論理によって研究される条件は、ここで次のように表記されます。${\displaystyle \mathbin {>} }$、 例えば${\displaystyle A\mathbin {>} B}$「AならばB」を表す。この条件「コーナー」は、同じ書き方の大なり記号と混同してはならないが、この分野を始めたロバート・スタルネイカーの論文（下記の§ 歴史を参照）^{[ 5 ]}で使用された表記法であり、他のさまざまな参考文献でも踏襲されている。^{[ 10 ] [ 2 ]}いくつかの条件論理は、反事実条件文の特定の文脈で研究されており、その文脈では、デイビッド・ルイスの${\displaystyle A\;\square \to B}$反事実を表す表記法（「もしAが事実であったならば、Bが事実であったであろう」と読む）も一般的である。^{[ 3 ]}

多くの言語では、if節はmust、might、wouldなどの明示的または暗黙的な様相表現と密接に相互作用します。影響力のある「制限」の見解では、if節自体は二項接続詞を導入するのではなく、代わりに後続の様相演算子または量化演算子の領域を制限します。これは、「if A , it must be that B」や「it must be that if A , then B」のような文における条件文と様相の見かけ上の交換を説明するのに役立ちます。^{[ 11 ]}

動的かつ表現主義的な説明は、この考えに基づいて、直説法または反事実的な条件文を情報状態または会話スコアボードの更新として扱います。このような見解では、「もしAならばB」と「もしAならばBではないかもしれない」の間の不整合は、2 つの更新が同じ共有情報に矛盾する制約を課すために生じます。同じ仕組みは、条件付き質問 (もし A ならば B する? ) や条件付き命令 (もし A ならば B する) にも自然に拡張され、これらは単純な真偽評価ではなく、調査状態または決定問題の変換としてモデル化されます。^{[ 12 ] [ 3 ]}

このように、条件論理はif文の真理条件をモデル化するだけでなく、会話、計画、意思決定におけるその役割を捉え、条件文の意味論を主張、質問、命令の語用論と結びつけるためにも使用されます。^{[ 2 ]}

古典的な実質含意は、一見もっともらしく見えるが、通常のif文では問題となると思われる多くの原理を検証します。アダムス、スタルネイカー、ルイスによる初期の研究では、前件の強化（「AならばC 」から「 AかつBならばC 」を推論する）、推移性（条件文の連鎖）、対偶（「AならばB 」から「BでないならばAでない」を推論する）に対する反例が強調されました。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 3 ]}

現代の条件論理は、通常、これらの原則の少なくとも一部を無効にします。また、以下のようなより具体的なスキーマに関しても異なります。

• または、もし（から）${\displaystyle A\lor B}$推測する${\displaystyle \neg A\mathbin {>} B}$);
• 輸出入（${\displaystyle A\mathbin {>} (B\mathbin {>} C)}$同等${\displaystyle (A\land B)\mathbin {>} C}$);
• 選言的前件の単純化（${\displaystyle (A\lor B)\mathbin {>} C}$両方を推測する${\displaystyle A\mathbin {>} C}$そして${\displaystyle B\mathbin {>} C}$)

これらのスキーマの状態は、類似性の順序付けや選択関数がどのように機能するか、コンテキストがどのように更新されるか、条件文が背景の前提とどのように相互作用するかといった細かい問題と結びついています。たとえば、「最も近い」前件世界で条件文を評価する可変厳密意味論は、左側で非単調になる傾向があります。前件に条件を追加すると、より遠い世界に注意が向けられ、推論が失敗する可能性があります。^{[ 2 ] [ 3 ]}どのスキーマを採用するかという問題は、条件論理の分類の中心であり、後のセクションで議論するさまざまなシステム（CK、B、V、VC、C2など）の動機付けになります。^{[ 2 ] [ 13 ]}

条件論理は、非単調論理や、デフォルト推論および反証可能推論のためのAI形式体系と密接に関連している。Kraus、Lehmann、Magidorによって導入された、非単調帰結関係のための優先順位モデルと順位モデルは、明示的な条件結合子から抽象化し、代わりに帰結関係を直接扱うものとして理解できる。${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$これは、「通常、 AならばB 」という形式のデフォルトを符号化する。彼らの優先的含意のシステムPと、より強力な合理的システムRは、バージェスのシステムBやルイスの反事実のシステムなど、いくつかの可変的に厳密な条件論理の「フラット」な断片に対応する。^{[ 8 ] [ 2 ]}

人工知能の観点から見ると、これらの論理は、例外のあるルールによる表現と自動推論をサポートします。たとえば、鳥は通常飛ぶ、またはコンポーネントは故障していることがわかっている場合を除き、通常機能する、といったルールです。条件論理と非単調帰結関係の対応関係は、2 つの分野間で結果と技術を移転したり、条件論理の定理証明器を設計したり、診断、計画、知識表現に適用したりするために使用されてきました。^{[ 8 ] [ 14 ] [ 15 ]}

一部のシステムは真理関数性を維持しつつ、2 つ以上の真理値を使用します。ルカシェヴィチは 3 値論理を導入しました。デ・フィネッティは後に、「AならばB 」はAが偽の場合（賭けが取り消される場合）は無効であるべきだと主張しました。現代の 3 値システム (例えば、クーパー/カントウェルの論理やデ・フィネッティに影響を受けた論理) は、通常、モーダス ポネンスを有効としますが、モーダス トレンスと対位法を無効にします。これらのシステムは、実質的含意のパラドックスを阻止し、仮定的/確率的直観と結びつくことを目指しています。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

支配的な内包的伝統では、条件文はアクセス可能な世界または類似した世界に対する量化として扱われる。

• 厳密な条件付き（CI Lewis）：${\displaystyle A\mathbin {>} B\;\equiv \;\Box (A\supset B)}$強力だが、自然言語には強すぎる（強化、推移性、対位法を検証する）。^{[ 27 ]}
• 可変的に厳密（スタルネイカー-ルイス）：真理は最も近いAワールドに依存する（文脈的に与えられた類似性または選択関数が与えられた場合）。これらは強化、推移性、対位法を無効にし、言語データによりよく適合する。^{[ 5 ] [ 6 ]}

このファミリーには、基本的な正規論理 ( CK ) からバージェスのB、ルイスのV/VW/VC、スタルネイカーのC2まで、公理系が存在します。多くは右弱化や条件付き K のような規則を保持していますが、前件強化、推移性、対偶などの古典的な図式は拒否しています。^{[ 13 ] [ 28 ] [ 19 ]}

AIでは、「Aならば通常はB」は状態に対する選好順序によってモデル化される。Kraus、Lehmann、MagidorのシステムC/P/Rは、合理的で反証可能な帰結を特徴づける。いくつかの条件論理のフラット（非ネスト）フラグメントは、彼らのPシステムと一致する。^{[ 20 ] [ 29 ]}

前提（または順序付けソース）意味論は、背景前提の最大部分集合をAと整合させ、 Cが続くかどうかをチェックすることによって「 AならばC 」を評価します。これは文脈依存性を捉え、類似性に基づく順序付け意味論と（定理を介して）同等です。^{[ 21 ] [ 23 ] [ 30 ]}

アダムスは、単純な（入れ子構造ではない）指示文の場合、「 AならばB 」の確率は条件付き確率に等しいと提唱した。${\displaystyle P(B\mid A)}$^{ルイスの自明}性の結果は、すべての条件付き確率を（入れ子になっている可能性のある）条件の確率と同一視すると、自明な制約に崩壊することを示しています^。スタルネイカー意味論の下では^、条件の確率は、ベイズ条件ではなく、前件のイメージングと一致します。 ^{[ 31 ]}その後の研究では、積空間モデルと条件の複合に対する一貫性に基づく予測が検討されています。^{[ 32 ] [ 33 ]}

信念改訂のAGMモデルでは、「 AならばB 」は、 Aによって信念セットを最小限に改訂した後、Bが信じられる場合に限り受け入れられます。これは、ラムゼイ テストの形式的なバージョンとして理解できます。標準的な AGM 公準と組み合わせると、ガーデンフォースによる自明性定理が得られ、公準を弱めたり、複合を制限したり、改訂を更新/イメージングに置き換えたりする提案が促されます。^{[ 9 ]}

関連性論理におけるトピック関連性を超えて、多くの理論家は、条件文が主張可能または妥当であるためには、AがBに対して（確率的または信念的な）違いを生じさせる必要があると主張している。これは、確認スコア（例： P(B|A) > P(B)）や結合論理原理の動機付けとなるが、多くの場合、右弱化などの規則を犠牲にする。^{[ 34 ] [ 35 ]}

ほとんどの通常のシステムは${\displaystyle \mathbin {>} }$以下の規則を用いて定式化される。${\displaystyle \vDash }$古典的な結果であり、${\displaystyle A,B,C,D}$数式は次のとおりです。

• (MP) モーダス・ポネンス：${\displaystyle A}$そして${\displaystyle A\to B}$推論する${\displaystyle B}$。
• (LLE) 左論理同値性: から${\displaystyle \vDash A\equiv B}$推論する${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C)}$。
• （RW）右派の弱体化：${\displaystyle \vDash C\to D}$推論する${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\to (A\mathbin {>} D)}$。
• (RCK) 条件付きK：から${\displaystyle (C_{1}\land \cdots \land C_{n})\to D}$推論する${\displaystyle [(A\mathbin {>} C_{1})\land \cdots \land (A\mathbin {>} C_{n})]\to (A\mathbin {>} D)}$どのような場合でも${\displaystyle n\geq 0}$。

条件論理は、すべての命題トートロジーを含み、(MP)、(LLE)、(RCK)の下で閉じている場合に正常と呼ばれることが多い。(RCK)は、論理的真理、右弱化、および以下のAndなどのいくつかのさらなる原理を包含する。 ^{[ 2 ] [ 19 ]}

多くのシステムは、以下のどの概略原理を検証するかという観点から最も便利に説明できます（すべての概略図は「すべての式に対して」の形式の概略図です）。${\displaystyle A,B,C}$..."): ^{[ 2 ]}

LT（論理的真理）

${\displaystyle A\mathbin {>} \top }$

ID（身分証明）

${\displaystyle A\mathbin {>} A}$

そして

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} (B\land C))}$

または

${\displaystyle ((A\mathbin {>} C)\land (B\mathbin {>} C))\to ((A\lor B)\mathbin {>} C)}$

CCut（慎重な推移性）

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land ((A\land B)\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} C)}$

CMon（慎重な単調性）

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to ((A\land B)\mathbin {>} C)}$

相互主義（ Rec）

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (B\mathbin {>} A))\to ((A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C))}$

RMon（有理単調性）

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land \neg (A\mathbin {>} \neg C))\to ((A\land C)\mathbin {>} B)}$

SM（素材よりも強い）

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\to (A\to B)}$

CS（連言的十分性）

${\displaystyle (A\land B)\to (A\mathbin {>} B)}$

CEM（条件付き除外中間）

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\lor (A\mathbin {>} \neg B)}$

これらの原理は条件文の選択機能と順序意味論の両方に動機づけられており、多くは原始的な公理としてではなく、より強力なシステムで導出することができる。^{[ 2 ] [ 13 ]}

便利な出発点は、条件文のコア選択関数意味論に対応するChellasの基本条件論理CkとCKである。 ^{[ 13 ] [ 2 ]}

• Ckは、すべての命題的トートロジーを含み、（MP）と（RCK）の下で閉じている最小システムです。これは「超内包的」な基本システムと見なすことができます。つまり、（RCK）は妥当ですが、（LLE）は妥当ではありません。
• CK はCk に (LLE) を追加します。言い換えれば、CK はすべての命題トートロジーを含み、(MP)、(LLE)、(RCK) の下で閉じている最小の論理です。CK では、原理 (LT)、(RW)、(AND) は定理ですが、(ID)、(OR)、(CMon)、(Rec)、(RMon)、(SM)、(CS)、(CEM) などのより強い原理は一般的に検証されません。^{[ 2 ]}

CKは、通常の様相論理Kの条件付き類似物として捉えられることが多い。CKは、追加のフレーム条件なしに、任意の選択関数または類似性順序付けを持つ基本的な可変厳密意味論を公理化する。^{[ 2 ]}

CK を基に、さらにスキーマを追加することで、より強力な論理体系のファミリーが得られます。Égré と Rott は、上記の意味で全て正常である 9 つの「顕著な」システム Ck、CK、B、SS、NP、V、VW、VC、C2 を強調しています。^{[ 2 ] [ 18 ]}

B

バージェスのシステムBは、(ID)、(OR) および (CMon) が成り立つ CK の最小拡張です。(RCK) および (LLE) を加えると、(AND)、(CCut) および (Rec) も得られます。順序意味論では、B は、各ワールドが反射的かつ推移的な類似性前順序を備えているモデルに対応します。^{[ 18 ] [ 2 ]}

V

ルイスの論理V は、B に原理 (RMon) を追加する。意味論的には、これは各評価ワールドで類似性順序を弱い順序 (モジュラー、全前順序のような) に強化することに対応する。^{[ 6 ] [ 2 ]}

VW

システムVWは、(SM)を検証することでVをさらに拡張し、すべての条件文が対応する実質条件文を含意するようにします。これにより、VWは通常の方法でモーダスポネンスを保持する、より弱い「反事実」論理として適しています。^{[ 2 ]}

VC

ルイスの反事実論理VCは、VWに（CS）を追加する。したがって、VCは（SM）と（CS）の両方を検証するVを拡張する最小の正規論理である。ルイスの球体意味論では、これは、両方の条件が満たされる場合に、追加の制約が満たされる全順序に対応する。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle A\land B}$可能であり、${\displaystyle A\land B}$―世界は最も近いもののひとつである${\displaystyle A}$–世界。^{[ 6 ] [ 2 ]}

C2

スタルネイカーの論理C2 は、VC から (CS) をより強力な (CEM) に置き換えることで得られます。したがって、C2 は VC + (CEM) であり、各前件が評価ポイントごとに一意の最も近い前件世界を選択する簡略化されたスタルネイカー モデルを特徴付けます。^{[ 5 ] [ 7 ] [ 2 ]}

SS

ポロックのシステムSSは、(SM)と(CS)をBに直接追加することによって得られます(Vを経由するのではなく)。これはVCと同じ多くの法則を検証しますが、完全な類似性順序ではなく部分的な類似性順序に基づいています。^{[ 36 ] [ 2 ]}

NP

デルグランデのシステムNPはCKの別の拡張です。Bと同様に(ID)、(AND)、(OR)、(CCut)を検証しますが、(CMon)の代わりに(RMon)を検証します。これは、CK上で単調性の慎重な形式と合理的な形式が独立していることを示しています。^{[ 37 ] [ 2 ]}

これらのシステムはすべて (LT) と (AND) を検証し、(ID)、(OR)、(CCut)、(CMon)、(Rec)、(RMon)、(SM)、(CS) および (CEM) の状態が異なり、完全な単調性、推移性、または対位法を検証するものはありません。${\displaystyle \mathbin {>} }$[ ^{2 ]​}

上記の多くのシステムの代替的かつ同等の表現は、ルイス＝ニュートの伝統において広く用いられており、条件論理を選択関数意味論に直接関連付ける場合に便利である。^{[ 19 ] [ 38 ]} このタイプの公理化では、以下を基本要素とする。

• 言語内のすべての命題的トートロジー${\displaystyle \mathbin {>} }$;
• 規則（MP）
• 「代替」規則のいずれか、または両方

（RCEC）から${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$推論する${\displaystyle (\chi \mathbin {>} \varphi )\leftrightarrow (\chi \mathbin {>} \psi )}$;

(RCEA)から${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$推論する${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi )}$;

• そしてルール

（RCK）上記参照。

この設定において、ルイスのシステムV、VW、VCおよびスタルネイカーのC2は、すべてのトートロジーを含み、（MP）、（RCEC）、（RCK）の下で閉じられ、次のような適切なスキーマセットのすべての置換インスタンスを含む最小の条件論理として記述できます。

ID${\displaystyle \varphi \mathbin {>} \varphi }$;

MP/SM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\to (\varphi \to \psi )}$;

MOD${\displaystyle (\neg \varphi \mathbin {>} \varphi )\to (\psi \mathbin {>} \varphi )}$;

CSO${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land (\psi \mathbin {>} \varphi ))\to ((\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi ))}$;

履歴書${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land \neg (\varphi \mathbin {>} \neg \chi ))\to ((\varphi \land \chi )\mathbin {>} \psi )}$;

CS${\displaystyle (\varphi \land \psi )\to (\varphi \mathbin {>} \psi )}$;

CEM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\lor (\varphi \mathbin {>} \neg \psi )}$。

例えば、標準的なプレゼンテーションでは次のようになります。^{[ 19 ] [ 2 ]}

• Vは (RCEC)、(RCK) およびスキーマ ID、MOD、CSO、CV を備えた最小のロジックです。
• VWはV+（SM）として表されます。
• VCはVW + (CS)として定義される。
• C2をVCとし、（CS）を（CEM）に置き換えた。

これらの公理化は、上記の表 6 の図式で説明されているものと同等であり、証明論や条件論理の自動推論でよく使用されます。^{[ 15 ]}

人工知能と非単調推論では、接続子を直接使用するのではなく、${\displaystyle \mathbin {>} }$しかし、反証可能な結果関係を伴う${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$「通常、もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「. クラウス、レーマン、マジドールは、現在C、P、Rとして知られる3つの中心的なシステムを公理化した。^{[ 8 ] [ 2 ]}

これらのシステムは、以下の規則によって与えられます。${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$のような：

• (ID _~ )識別情報:${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }A}$。
• (LLE _~ )左論理同値: もし${\displaystyle \vDash A\equiv B}$そして${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$、 それから${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$。
• （RW _~）右派弱化：もし${\displaystyle \vDash C\to D}$そして${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$、 それから${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }D}$。
• （カット_～）慎重なカット：${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$そして${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$推論する${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$。
• (CMon _~ )慎重な単調性:${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$そして${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$推論する${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$。
• （そして_～）そして：${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$そして${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$推論する${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }(B\land C)}$。
• （または_～）または：から${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$そして${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$推論する${\displaystyle A\lor B\vdash _{\!\sim }C}$。
• (RMon _~ )有理単調性:${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$そしてそうではない${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }\neg B}$推論する${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$。

この基準に基づいて、以下のように定義される。

• システムC (累積): (ID _~ )、(LLE _~ )、(RW _~ )、(CCut _~ )、(CMon _~ ) (したがって (AND _~ ))を満たす最小の関係。
• システムP (優先): C プラス (OR _~ ); 優先モデルに対して健全かつ完全であり、「フラット」 (${\displaystyle L_{1}}$）BやVCなどのいくつかの条件論理の断片。^{[ 8 ] [ 2 ]}
• システムR (有理): P プラス (RMon _~ ); は、順位付けされた (全順序付けられた) 選好モデルに対して完全です。

「${\displaystyle A\mathbin {>} B}$受け入れられるのは${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$これらの非単調システムは、上記で説明した多くの選択関数条件論理のフラットな断片を提供すると見なすことができ、条件論理をAGM信念改訂およびデフォルト推論にリンクします。^{[ 8 ] [ 9 ]}