非単調な論理

非単調論理は、結論関係が単調ではない形式論理です。言い換えれば、非単調論理は、破棄可能な推論、つまり推論者が暫定的な結論を導き、さらなる証拠に基づいて推論者が結論を撤回できるようにする一種の推論を捕捉して表現するために考案されています。^[1] 研究された形式論理のほとんどは単調な含意関係を持ち、つまり仮説に式を追加しても結論の集合が削減されることはありません。直感的には、単調性は、新しい知識を学んでも既知の集合を減らすことはできないことを示しています。単調論理は、デフォルトによる推論（結論は、反証がないという理由だけで導き出される）、帰納的推論（結論は最も可能性の高い説明としてのみ推論される）、知識についての推論に対するいくつかの重要なアプローチ（結論が知られるようになったら、結論を知らないことは撤回されなければならない）、同様に信念の修正（新しい知識は古い信念と矛盾する可能性がある）などのさまざまな推論タスクを処理できません。

アブダクション推論は、既知の事実について十分な説明を導き出すプロセスです。アブダクション ロジックは単調であってはなりません。なぜなら、考えられる説明が必ずしも正しいとは限らないからです。たとえば、草が濡れている理由として考えられるのは雨が降ったということでしょう。しかし、草が濡れている本当の原因がスプリンクラーだったとわかったら、この説明は撤回しなければなりません。古い説明 (雨が降った) は、知識 (スプリンクラーが作動していた) が追加されたことで撤回されるため、説明をモデル化するロジックはどれも非単調です。

何かが未知であることを意味する式がロジックに含まれる場合、このロジックは単調であってはなりません。実際、以前は未知であった何かを学ぶことは、この知識が未知であることを示す式を削除することにつながります。この 2 番目の変更 (追加によって引き起こされる削除) は、単調性の条件に違反します。知識について推論するためのロジックは、自己認識論理です。

信念の修正とは、古い信念と矛盾する可能性のある新しい信念に対応するために信念を変更するプロセスです。新しい信念が正しいという仮定では、一貫性を維持するために古い信念の一部を撤回する必要があります。新しい信念の追加に応じてこの撤回が行われるため、信念修正のロジックは非単調になります。信念修正アプローチは、矛盾を排除しようとするのではなく、矛盾を許容する矛盾論理の代替手段です。

非単調論理の証明理論的形式化は、特定の非単調推論規則の採用から始まり、次にこれらの非単調規則が許容される演繹に適用できる文脈を規定する。これは通常、前提の集合とその非単調結論の集合を関連付ける固定小数点方程式によって達成される。デフォルト論理と自己認識論理は、そのように形式化された非単調論理の最も一般的な例である。^[2]

非単調論理のモデル理論的形式化は、適切な単調論理の意味を、例えば極小モデルなどのいくつかの特別なモデルに制限することから始まる^{[3] [4] 。}そして、結果として得られる演繹システムが制限された意味に関して健全かつ完全であるように、おそらくこれらの規則が適用されるコンテキストに関するいくつかの制限を伴う、一連の非単調推論規則を導出する。^[5]よく知られたパラドックスに悩まされ、捉えるべき直観との一貫性に関して評価することが困難な場合が多かった一部の証明理論的形式化とは異なり、モデル理論的形式化はパラドックスがなく、どのような非単調な推論パターンをカバーするかについて混乱が生じる余地はほとんどない。非単調推論の証明理論的形式化の例としては、望ましくないまたは逆説的な性質を明らかにしたり、望ましい直観的理解を捉えなかったりしたものの、モデル理論的な手段によってうまく（それぞれの直観的理解と一致し、逆説的な性質なしに）形式化されたものとして、第一階限定、閉世界仮定、^[5]、自己認識論理などがある。^[2]

• 論理プログラミング
• 失敗としての否定
• 安定したモデルセマンティクス
• 合理的な結果関係

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