コブ・ダグラス生産関数

経済学と計量経済学において、コブ・ダグラス生産関数は生産関数の特定の関数形式であり、2つ以上の入力（特に物理的資本と労働）の量とそれらの入力によって生産できる出力の量との間の技術的関係を表すために広く使用されています。コブ・ダグラス形式は、1927年から1947年の間にチャールズ・コブとポール・ダグラスによって開発され、統計的証拠に照らしてテストされました。 ^{[1]ダグラスによると、関数形式自体は}フィリップ・ウィックスティードによって以前に開発されました。^[2]

2 つの要素を持つ単一の財の生産に対する最も標準的な形式では、関数は次のように表されます。

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

どこ：

• Y = 総生産量（1年間または365.25日間に生産されるすべての商品の実際の価値）
• L =労働投入量（1年間または365.25日間の労働時間）
• K =資本投入（すべての機械、設備、建物の尺度。資本投入の価値を資本価格で割ったもの）^{[説明が必要]}
• A =全要素生産性
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$および はそれぞれ資本と労働の産出弾力性です。これらの値は利用可能な技術によって決まる定数です。${\displaystyle 0<\beta <1}$

資本と労働は、コブ・ダグラス生産関数の 2 つの「生産要素」です。

ポール・ダグラスは、コブ＝ダグラス生産関数の最初の定式化は1927年に開発されたと説明している。労働者と資本について計算した推定値を関連付ける関数形式を求めていたとき、数学者で同僚のチャールズ・コブと話し合ったところ、コブは、以前にクヌート・ヴィクセル、フィリップ・ウィックスティード、レオン・ワルラスが使用した形式Y = AL ^β K ^{1− β}の関数を提案したが、ダグラスはウィックスティードとワルラスの貢献のみに感謝している。^[3]クヌート・ヴィクセルが1926年に死去して間もなく、ポール・ダグラスとチャールズ・コブは、生産者理論の主題を扱う彼らの研究で初めてコブ＝ダグラス関数を実装した。^[4]これを最小二乗法で推定すると、労働指数は0.75となり、その後、全米経済研究所によって0.741であることが確認された。 1940年代のその後の研究では、 KとLの指数が変化することを考慮に入れるようになり、その結果、当時開発された生産性の改善された指標に非常に近い推定値が得られることが証明されました。^[5]

当時の主な批判は、生産関数の推定値は一見正確であるものの、あまりにもまばらなデータに基づいているため、信頼性をあまり与えることができないというものだった。ダグラスは「この批判に落胆し、努力を諦めようかと思ったが、続けるべきだと私に告げる何かがあった」と述べた。^[5]突破口は、横断的で多数の観察を提供する米国の国勢調査データを使用することで生まれた。ダグラスは、これらの調査結果を他の国の調査結果とともに、1947年にアメリカ経済学会会長として行った演説で発表した。その後まもなく、ダグラスは政界に転身したが健康を害し、彼の側ではほとんど進展がなかった。しかし、20年後、彼の生産関数は広く使用され、ポール・サミュエルソンやロバート・ソローなどの経済学者に採用された。^[5]コブ・ダグラス生産関数は、集計的または経済全体の生産関数が初めて開発され、推定され、分析のために専門家に提示されたことで特に注目に値します。これは、経済学者がミクロ経済学の観点からマクロ経済学にアプローチする方法に画期的な変化をもたらしました。^[6]

生産要素の限界生産性とは、他のすべての生産要素と総要素生産性を一定に保ちながら、その生産要素が変化したときの生産量の変化です。

資本の限界生産性は、資本に関する生産関数の一次導関数に相当します。 ${\displaystyle MPK}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\frac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}}$

なぜなら（そして同様に）、資本の限界生産性は常にプラスであることがわかります。つまり、資本の増加は生産量の増加につながります。 ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle Y>0,K>0}$

また、全要素生産性が増加すると資本の限界生産性も増加することがわかりました。 ${\displaystyle A}$

労働についても同様のことが言えます。

資本の限界生産性を資本に関して導関数をとると（つまり、生産関数を資本に関して2次導関数をとると）、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\frac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\frac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\frac {Y}{K^{2}}}}$

なぜなら、そして、したがって。 ${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle \alpha -1<0}$${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0}$

したがって、この関数は「収穫逓減」の法則を満たします。つまり、資本の限界生産性は常にプラスですが、減少しています。資本が増加すると（労働と全要素生産性は一定）、生産量は増加しますが、その割合は減少します。

労働についても同様のことが言えます。

労働が増加したときに資本の限界生産性に何が起こるかを調べるには、資本の限界生産性の労働に関する偏微分、つまり資本と労働に関する産出量の相互微分を取ることができます。

${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}}$

なので、労働の増加は資本の限界生産性を上昇させます。 ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$

産出弾力性は、他の条件が同じ場合、生産に使用される労働または資本のいずれかのレベルの変化に対する産出の反応を測定します。たとえば、α = 0.45の場合、資本使用量が1%増加すると、産出は 約0.45%増加します。

この用語は、より限定された意味を持つこともあり、関数がスケールへの一定回帰を示すこと、つまり資本Kと労働L を係数kだけ増やすと、産出量Yも同じ係数だけ増加する、つまり となることを要求することもあります。これは の場合に当てはまります。 ${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

ならば規模の経済性は減少しており、資本Kと労働Lがk倍に増加しても産出量Yの増加はk倍よりも小さくなる、つまり となる。^[7]${\displaystyle \alpha +\beta <1}$${\displaystyle Y(kL,kK)<kY(L,K)}$

ならば規模の経済性は増大しており、資本Kと労働Lがk倍増加すると産出量Yがk倍以上増加する、つまり、となる。^[7]${\displaystyle \alpha +\beta >1}$${\displaystyle Y(kL,kK)>kY(L,K)}$

完全競争の下では、生産要素は総限界生産量に応じて報酬を受け取ります。

資本の限界生産性は次のように求められます。これは資本 1 単位あたりの報酬です。総資本の報酬を求めるには、この量に次のように掛けます。 ${\displaystyle MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y}$。

したがって、生産量の 一部は資本に報酬として支払われることになります。${\displaystyle \alpha }$

同様の推論により、生産量の 一部が労働に報酬として支払われることがわかります。${\displaystyle \beta }$

これらのシェアの合計が出力の 100% になるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

一般化されたコブ・ダグラス関数は、2つ以上の財をモデル化する。コブ・ダグラス関数は次のように記述できる^[8]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

どこ

• Aは効率パラメータである
• nは入力変数（商品）の総数である。
• x ₁、...、x _{n は}消費、生産等される財の（負でない）量です。
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$は財iの弾力性パラメータである

この関数は、その根拠が欠けていると批判されてきた。コブとダグラスは、先進国では総生産量に占める労働と資本のシェアが時間とともに一定であることを示す統計的証拠に影響を受け、生産関数の統計的フィッティング最小二乗回帰によってこれを説明した。現在では、先進国では労働のシェアが低下していることが広く認められている。^{[9] [10]}生産関数には、国の生産能力と供給側の効率性を常に最も正確に表すとは限らない主要な仮定が含まれている。この仮定は「生産量における労働のシェアは一定」であり、労働市場が著しく成長している国のケースに適用すると効果的ではない可能性がある。^[11]コブ・ダグラス生産関数の基本的な構成におけるもう 1 つの問題は、同時方程式バイアスの存在である。競争が想定される場合、同時方程式バイアスは、コブ・ダグラス関数を含む、企業の意思決定に関わるすべての関数タイプに影響を及ぼします。場合によっては、この同時方程式バイアスは現れません。しかし、最小二乗漸近近似を使用するとそれは明らかである。^[12]

コブ・ダグラス生産関数は、工学、技術、生産プロセスの管理に関する知識に基づいて開発されたものではない^[要出典]。この理論的根拠は、資本という用語の定義を考えると正しいかもしれない。労働時間と資本には、より適切な定義が必要である。資本が建物として定義される場合、労働はその建物の開発にすでに含まれている。建物は、商品、労働、リスク、および一般的な条件で構成される。代わりに、生産要素のいずれかに対する限界収益の逓減や、コブ・ダグラス技術を運用する企業の任意の入力に対する最適支出シェアが一定であるという特性など、魅力的な数学^的特性^[要出典]があったために開発された。当初、それには効用基盤がなかった。現代では、一部の経済学者は、経済全体に機能形式を押し付けるのではなく、個々のエージェントの行動からモデルを構築しようと試みている^[要出典]。コブ・ダグラス生産関数は、適切に定義されれば、ミクロ経済レベルからマクロ経済レベルまで適用できる。

しかし、多くの現代の著者^{[誰? ]は、多くの}ニューケインジアンモデルを含む、ミクロ経済学に基づいたコブ・ダグラス生産関数を与えるモデルを開発しました。 ^{[13]それでも、コブ・ダグラス関数がミクロ経済レベルで適用されるからといって、常に}マクロ経済レベルにも適用されると想定するのは数学的な間違いです。同様に、マクロコブ・ダグラスが細分化レベルで適用されるとは限りません。線形活動に基づく集計コブ・ダグラス技術の初期のミクロ基礎は、Houthakker（1955）で導き出されました。^[14]コブ・ダグラス生産関数は、資本と労働が粗補完であることを示唆する資本と労働の代替弾力性の現代の実証的推定と一致していません。3186の推定値の2021年のメタ分析は、「実証文献に蓄積された証拠の重みは、コブ・ダグラスの仕様を断固として否定する」と結論付けています。^[15]

コブ・ダグラス関数は効用関数としてよく使われる。^{[16] [8]}効用は消費される財の量の関数である。 ${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

効用関数は順序的な選好を表し、生産関数とは異なり、自然単位を持ちません。その結果、効用関数の単調変換は同じ選好を表します。指数の合計が規模の経済の度合いを決定するコブ・ダグラス型生産関数とは異なり、正規化は元の効用関数の単調変換であるため、効用関数の合計は 1 に正規化できます。したがって、およびを定義して、効用関数を次のように記述します。 ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

消費者は、商品の費用が自分の富よりも少ないという予算制約の下で効用を最大化します。商品の価格を とすると、次の式が解けます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

コブ・ダグラス需要の解は次のようになります。

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}}$

なので、消費者は財産の一部を財jに費やします。同じ好みが同じ需要を生み出すので 、これはまたは のどちらに対しても解であることに注意してください。${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$

間接効用関数は、需要を効用関数に代入することで計算できます。定数を定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

これはゴーマン極座標の特殊なケースである。支出関数は間接効用関数の逆関数である: ^{[17] : 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

コブ・ダグラス関数の形は、次の式を使用して線形関係として推定できます。

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

どこ

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

このモデルは次のようにも書ける。

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

前述のように、マクロ経済モデリングでよく使われるコブ・ダグラス関数は

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

ここで、Kは資本、L は労働です。モデル指数の合計が 1 になると、生産関数は 1 次同次関数となり、規模の経済性が一定になります。つまり、すべての入力が 0 より大きい共通係数でスケーリングされると、出力も同じ係数でスケーリングされます。

一定代替弾性（CES）生産関数（2要素の場合）は

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

ここで、 γ = 0の極限ケースは、規模の経済性が一定であるコブ・ダグラス関数に対応する。 ^[18]${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$

これを確認するには、CES 関数のログを参照してください。

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

ロピタルの法則を適用することで極限まで到達できる。

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

したがって、。 ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$

トランスログ生産関数は、CES関数を変数に関する2次テイラー多項式で近似したもので、コブ・ダグラスの場合に相当します。^{[19] [20]}トランスログという名前は「超越対数」の略です。これは、パラメータに対して線形であるため計量経済学でよく使用されます。つまり、入力が外生であると仮定できる場合は、通常の最小二乗法を使用できます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =0}$

上記の2要素の場合、トランスログ生産関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

ここで、、、、、は適切に定義されます。3要素の場合、トランスログ生産関数は次のようになります 。${\displaystyle a_{K}}$${\displaystyle a_{L}}$${\displaystyle b_{KK}}$${\displaystyle b_{LL}}$${\displaystyle b_{KL}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

ここで= 全要素生産性、= 労働、= 資本、= 原材料および供給品、= 生産量です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$

• レオンチェフ生産関数
• 生産可能性境界
• 生産理論

• レンショー、ジェフ（2005年）。経済学のための数学。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp.516-526。ISBN 0-19-926746-4。

ウィキメディア・コモンズには、コブ・ダグラス生産関数に関連するメディアがあります。

• 3D におけるコブ・ダグラス型生産関数の解析
• 効用関数としてのコブ・ダグラスの分析 2014-10-03 にWayback Machineでアーカイブ
• N 入力生産関数を持つ企業の閉形式解