円形平均

数学や統計学において、円平均または角度平均とは、角度や、時刻、実数の小数部分など、同様の周期的な量に対して設計された平均のことです。

これは、角度のような量には、通常の方法のほとんどが適切でない可能性があるため必要です。たとえば、 0°と360°の算術平均は180°ですが、360°は完全なサイクルを法として0°に等しいため、これは誤解を招きます。^{[ 1 ]}別の例として、午後11時から午前1時までの「平均時間」は、2つの時間が1つの夜の一部であるか、1つの暦日の一部であるかに応じて、真夜中または正午になります。

円形平均は、方向統計と非ユークリッド空間の統計の最も単純な例の 1 つです。この計算では算術平均とは異なる結果が得られ、角度が広く分布しているほどその差は大きくなります。たとえば、3 つの角度 0°、0°、90° の算術平均は (0° + 0° + 90°) / 3 = 30° ですが、ベクトル平均は arctan(1/2) = 26.565° です。さらに、算術平均では、円形分散は ±180° の範囲でのみ定義されます。

意味

角度の場合、算術平均は必ずしも適切ではないため、角度の平均値と分散の両方を求めるには、次の方法を使用できます。

すべての角度を単位円上の対応する点に変換します。例: $\alpha$ に $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ つまり、極座標をデカルト座標に変換します。次に、これらの点の算術平均を計算します。結果として得られる点は単位円盤内にありますが、一般的には単位円上にはありません。その点を極座標に戻します。角度は入力角度の妥当な平均です。すべての角度が等しい場合、結果として得られる半径は 1 になります。角度が円上に均等に分布している場合、結果として得られる半径は 0 になり、円平均は存在しません。（実際には、円上で連続平均演算を定義することは不可能です。）言い換えれば、半径は角度の集中度を表します。

角度を考慮すると $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 逆正接関数のatan2変種を用いた平均値の一般的な公式は次のとおりです。

{\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)

複雑な算術演算を使用する

複素数を用いて同様の定義を定式化することもできる。

{\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)

。

上記の導出を点の算術平均を用いて一致させるには、合計をで割る必要がある。 $n$ ただし、スケーリングは重要ではありません。 $\operatorname {atan2}$ そして $\arg$ したがって、省略できる。

方向データは実際には単位長のベクトルであると認識すれば、これはより簡潔に表現できるだろう。一次元データの場合、これらのデータ点は単位大きさの複素数として都合よく表現できる。 $z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }$ 、どこ $\theta$ は測定された角度です。サンプルの平均合成ベクトルは次のようになります。

{\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.

標本平均角度は、平均合成角の偏角となる。

{\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).

標本平均合成ベクトルの長さは次のとおりです。

{\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|

そして、その値は0から1の間になります。したがって、標本平均の結果ベクトルは次のように表すことができます。

\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}

同様の計算は、円形分散を定義するためにも使用されます。

不動産

円形平均、 ${\bar {\alpha }}$

フォンミーゼス分布の平均パラメータの尤度を最大化し、
円上の特定の距離の合計を最小化する、より正確には

{\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ただし}}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).

距離

d(\varphi ,\beta )

は、単位円上の2点間のユークリッド距離の2乗の半分に等しい。

\varphi

そして

\beta

。

例

一連の角度（[0°, 360°]の範囲）の平均を計算する簡単な方法は、各角度のコサインとサインの平均を計算し、逆正接を計算することで角度を得ることです。例として、10度、20度、30度の3つの角度を考えてみましょう。直感的には、平均を計算するには、これら3つの角度を足し合わせて3で割る必要があり、この場合、正しい平均角度である20度が得られます。このシステムを反時計回りに15度回転させると、3つの角度は355度、5度、15度になります。算術平均は125度になりますが、これは間違った答えで、5度であるべきです。ベクトル平均 ${\textstyle {\bar {\theta }}}$ 平均正弦波を用いて、以下のように計算できます。 ${\textstyle {\bar {s}}}$ 平均コサイン ${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$ :

{\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086

{\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986

{\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.

// 結果として得られる角度が負の場合は、360 を加算して標準範囲 0 ～ 360 にします。例: if result < 0 then result := result + 360;

実装

このPythonコードでは、日中の時間を使用して、それらの円平均を求めます。

import mathdef circular_mean ( hours : list [ int ]) -> float : """時間をラジアンに変換""" # 時間を度数に変換するには、 # 時間を 360/24 = 15 で乗算する必要があります。 radians = [ math . radians ( hour * 15 ) for hour in hours ]# sin と cos の値の合計を計算しますsin_sum = sum ([ math . sin ( rad ) for rad in radians ]) cos_sum = sum ([ math . cos ( rad ) for rad in radians ])# arctan2 を使用して円形の平均を計算しますmean_rad = math . atan2 ( sin_sum , cos_sum )# 平均値を時間単位に変換するmean_hour = ( math . degrees ( mean_rad ) / 15 ) % 24平均時間を返す# 使用例: hours = [ 0 , 12 , 18 ] mean_hour = circular_mean ( hours ) print ( "最初の円形平均: " , round ( mean_hour , 2 ))hours = [ 0 , 12 ] mean_hour = circular_mean ( hours ) print ( "2 番目の円形平均: " , round ( mean_hour , 2 ))hours = [ 0 , 0 , 12 , 12 , 24 ] mean_hour = circular_mean ( hours ) print ( "3 番目の円形平均: " , round ( mean_hour , 2 ))

上記の機能は、SciPyのcircmean関数によって既に実装されていることに注意してください。

一般化

球面平均

N個の独立した単位ベクトルの系列 $x_{i}$ フォン・ミーゼス・フィッシャー分布から抽出される。平均方向の最尤推定値は $\mu$ これは単に正規化された算術平均であり、十分な統計量である。^{[ 2 ]} $\mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,$

加重球面平均

加重球面平均は球面線形補間に基づいて定義できる。^{[ 3 ]}

参考文献

↑クリストファー・M・ビショップ：パターン認識と機械学習（情報科学と統計学）、 ISBN 0-387-31073-8
↑ Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Directional Statistics . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3。
↑ Buss, Samuel R.; Fillmore, Jay P. (2001). "球面平均と球面スプラインおよび補間への応用". ACM Transactions on Graphics . 20 (2). Association for Computing Machinery (ACM): 95–126 . doi : 10.1145/502122.502124 . ISSN 0730-0301 .

さらに読む

Jammalamadaka, S. Rao および SenGupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics、セクション 1.3、World Scientific Press、シンガポール。ISBN 981-02-3778-2
Hotz, Thomas (2013). 「円における外因的手段と内因的手段」. Lecture Notes in Computer Science . Vol. 8085. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 433–440 . doi : 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN 978-3-642-40019-3ISSN 0302-9743

[1] クリストファー・M・ビショップ：パターン認識と機械学習（情報科学と統計学）、 ISBN 0-387-31073-8

[Von_Mises–Fisher_distribution_MardiaJupp-2] Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Directional Statistics . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3。

[Buss2001-3] Buss, Samuel R.; Fillmore, Jay P. (2001). "球面平均と球面スプラインおよび補間への応用". ACM Transactions on Graphics . 20 (2). Association for Computing Machinery (ACM): 95–126 . doi : 10.1145/502122.502124 . ISSN 0730-0301 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

意味

複雑な算術演算を使用する

不動産

例

実装

一般化

球面平均

加重球面平均

関連項目

参考文献

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