中心三角数

中心三角数は、中心に点があり、その中心を囲む他のすべての点が連続する正三角形の層で囲まれた 正三角形を表す中心図形数です。

これは、与えられた点からの距離が 以下である、最近接結合を持つ六角格子の点の数でもあります。 ${\displaystyle n}$

次の画像は、関連する数字を使用して中心の三角形の数字を構築する方法を示しています。各ステップで、前の三角形 (赤で表示) が新しい点の三角形の層 (青) に囲まれています。

• ( n + 1)番目の三角層に対応するn番目の中心三角数のグノモンは次のようになります。

${\displaystyle C_{3,n+1}-C_{3,n}=3(n+1).}$

• n層と中心に対応するn番目の中心三角数は、次の式で与えられます。

${\displaystyle C_{3,n}=1+3{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.}$

• 各中心三角数は 3 で割った余りが 1 となり、商 (正の場合) は前の通常の三角数になります。

• 10 以降の中心三角数は、連続する 3 つの正三角数の合計です。

• n > 2の場合、最初のn個の中心三角数の合計は、n行n列の通常の魔方陣の魔定数です。

中心三角数は中心平方数で表すことができます。

${\displaystyle C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}},}$

どこ

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n+1)^{2}.}$

最初の中心三角数（C _3、n < 3000）は次のとおりです。

1、4、10、19、31、46、64、85、109、136、166、199、235、274、316、361、409、460、514、571、631、694、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​760、829、901、976、1054、1135、1219、1306、1396、1489、1585、1684、1786、1891、1999、2110、2224、2341、2461、2584、 2710、2839、 2971、…（OEISの配列A005448）。

最初の同時三角数かつ中心三角数（C _3、n = T _N < 10 ⁹）は次のとおりです。

1、10、136、1 891、26 335、366 796、5 108 806、71 156 485、991 081 981、…（OEISの配列A128862）。

中心三角数を関数のマクローリン級数の係数として扱うと、その関数はすべての に対して収束し、その場合、有理型生成関数として表すことができる。 ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle 1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+~...={\frac {1-x^{3}}{(1-x)^{4}}}={\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}~.}$

• ランスロット・ホグベン：『百万人のための数学』（1936年）、WWノートン社（1993年9月）より再出版、ISBN  978-0-393-31071-9
• Weisstein、Eric W.「中心三角数」。MathWorld。