カルタンの等価法

数学において、カルタンの同値法は、2つの幾何学的構造が微分同相写像まで同じであるかどうかを判定する微分幾何学の手法である。例えば、MとNがそれぞれ計量gとhを持つ2つのリーマン多様体である場合、微分同相写像が存在するのはいつですか？

${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$

そのような

${\displaystyle \phi ^{*}h=g}$?

この特定の質問に対する答えは、2 次元ではガウスに、高次元ではクリストッフェルとおそらくリーマンにも知られていましたが、エリー・カルタンと彼の知的後継者たちは、根本的に異なる幾何学的構造に対する同様の質問に答える手法を開発しました。(たとえば、カルタン-カールヘーデのアルゴリズムを参照してください。)

カルタンは、同値法を、射影構造、CR構造、複素構造、さらにはラグランジアンや常微分方程式の同値性など、一見非幾何学的な構造を含む多くの構造に適用することに成功しました。(彼の手法は、後にDCスペンサーやシーシェン・チャーンなど、他の多くの人々によってさらに完全に開発されました。)

同値法は、2 つの幾何学的構造が同一であるかどうかを判定するための、本質的にアルゴリズム的な手順です。カルタンの場合、主要な幾何学的情報は、微分可能多様体上のコフレームまたはコフレームの集合で表現されました。移動フレーム法を参照してください。

具体的には、MとN が、それぞれが構造群GのG 構造を持つ多様体のペアであるとします。これは、 MとN上の特別なコフレームのクラスを与えることに相当します。カルタンの方法は、N上のG構造がM上の指定されたG構造に戻る局所微分同相写像 φ: M → Nが存在するかどうかという問題に対処します。 G構造の構造不変量の完全なセットを与えることができれば、同値問題は「解決」されます。つまり、そのような微分同相写像は、すべての構造不変量が適切に定義された意味で一致する場合にのみ存在することを意味します。

^{明示的には、 θ i}と γ ⁱの局所的な一形式系がそれぞれMとN上に与えられ、それらはそれぞれの余接バンドルを張る（つまり、コフレームである）。問題は、局所微分同相写像 φ: M → Nが存在し、 N上のコフレームの引き戻しが次を満たす かどうかである。

${\displaystyle \phi^{*}\gamma^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G}$ （１）

ここで係数gはリー群Gの値を取るM上の関数です。たとえば、MとNがリーマン多様体である場合、G = O ( n ) は直交群であり、 θ ⁱと γ ⁱはそれぞれMとNの正規直交コフレームです。2つのリーマン多様体が等長であるかどうかという問題は、(1) を満たす微分同相写像 φ が存在するかどうかという問題です。

カルタン法の最初のステップは、「延長」を使用して、プルバック関係 (1) を可能な限り不変な方法で表現することです。これを行う最も経済的な方法は、線形コフレームの主バンドルLMのGサブバンドルPM を使用することですが、このアプローチは実際の計算を実行するときに不要な複雑さにつながる可能性があります。特に、この記事の後半では別のアプローチを使用します。ただし、概要を説明するために、主バンドルの観点に固執すると便利です。

2 番目のステップは、外微分の微分同相不変性を使用して、 G構造の他の高次不変量を分離することです。基本的には、主バンドルPM内の接続と、いくつかのねじれを取得します。接続の成分とねじれの成分は、問題の不変量と見なされます。

3 番目のステップでは、主バンドルPMのファイバー内の残りのねじれ係数が一定でない場合、それらを都合の良い定数値に設定してこれらの正規化方程式を解くことによって正規化することが多くの場合可能です (困難な場合もありますが)。これにより、リー群Gの有効次元が削減されます。これが発生した場合は、ステップ 1 に戻り、1 つ低い次元のリー群で作業します。

最初の 3 つのステップの主な目的は、構造グループ自体を可能な限り削減することでした。同値問題がループを十分な回数実行したため、これ以上削減できないと仮定します。この時点で、同値法が導く可能性のある方向はさまざまです。ほとんどの同値問題では、完全な削減、反転、延長、および縮退の 4 つのケースしかありません。

完全な縮約。 ここで、構造群は自明な群に完全に縮約されています。問題は、フロベニウスの定理などの方法で処理できるようになりました。つまり、アルゴリズムは正常に終了しました。

一方、PMのファイバー上ではねじれ係数が一定である可能性があります。同様に、ねじれ係数はリー群Gに依存しなくなります。なぜなら、正規化するものは何もないからです。ただし、ねじれはまだあるかもしれません。残りの 3 つのケースではこれを前提としています。

反転。 同値問題は、カルタンのテストに合格する場合、反転している（または反転している）と言われます。これは本質的に、手順の最初の 3 つのステップで取得された接続に関するランク条件です。カルタン テストは、偏微分方程式の 1 次線形システムの可解性に関するフロベニウスの定理を一般化します。MとNのコフレーム（アルゴリズムの最初の 3 つのステップを完全に適用して取得）が一致し、カルタン テストを満たす場合、2 つのG構造は同値です。（実際には、著者の知る限り、これが成り立つためには、コフレームが実解析的でなければなりません。カルタン-ケーラーの定理では解析性が求められるためです。）

延長。 これは最も複雑なケースです。実際には 2 つのサブケースがあります。最初のサブケースでは、すべてのねじれを接続形式に一意に吸収できます (リーマン多様体は、レヴィ-チヴィタ接続がすべてのねじれを吸収するため、その一例です)。接続係数とその不変導関数は、構造の不変量の完全なセットを形成し、同値問題は解決されます。ただし、2 番目のサブケースでは、すべてのねじれを吸収することが不可能であるか、または何らかのあいまいさがあります (たとえば、ガウス消去法でよくあるように)。ここでは、ガウス消去法と同様に、ねじれを吸収しようとすると追加のパラメーターが現れます。これらのパラメーター自体が問題の追加の不変量であることが判明しているため、構造グループGは、ジェット グループのサブグループに延長される必要があります。これが完了すると、延長された空間上に新しいコフレームが得られ、同値法の最初のステップに戻る必要があります。(G 構造の延長も参照してください。)

退化。 ランク条件の不均一性のため、同値法ではこの特定の同値問題を扱うことができません。たとえば、単一の 1 形式 θ を持つ多様体Mを、φ*γ=θ となる単一の 1 形式 γ を持つ別の多様体にマッピングする同値問題を考えてみましょう。これらの 1 形式のゼロと、各点における外導関数のランクを考慮する必要があります。すべてのランクが均一であれば、同値法でこのような問題を処理できますが、ランクが変化する場合は必ずしも適しているとは限りません。もちろん、特定のアプリケーションによっては、同値法で大量の情報を取得できます。

• Olver, PJ (1995)。等価性、不変量、対称性。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-521-47811-1。