カラテオドリの拡張定理

この定理は、まず小さな集合代数上で測度を定義し、そのσ加法性を容易に検証できるようにすることで測度を構築し、次にこの定理によってσ代数への拡張が保証されるという点で注目に値する。この定理の証明は、拡張を必要とするため自明ではない。$\displaystyle \mu _{0}}$集合の代数から、潜在的にはるかに大きなシグマ代数へ拡張し、拡張が一意であることを保証する（もし$\displaystyle \mu _{0}}$は${\displaystyle \sigma }$（有限）であり、さらに元の関数のシグマ加法性を満たさないこともない。

与えられた集合に対して${\displaystyle \Omega ,}$私たちは家族と呼ぶ$\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle \Omega }$1以下の性質を満たす場合、それは半環である。

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$
• すべての人にとって${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$我々は持っています${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$（ペアワイズ交差に関して閉じている）
• すべての人にとって${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$互いに素な集合は有限個存在する${\displaystyle K_{i}\in {\mathcal {S}},i=1,2,\ldots ,n,}$そのため${\displaystyle A\setminus B=\coprod _{i=1}^{n}K_{i}}$（相対補集合は有限個の互いに素な和集合として表すことができる。）

最初のプロパティは、${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing }$以来${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\implies A\setminus A=\varnothing \in {\mathcal {S}}.}$

同じ表記法で、ファミリーを$\displaystyle {\mathcal {R}}}$サブセットの${\displaystyle \Omega }$1以下の性質を持つ集合の環：

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {R}}}$
• すべての人にとって${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$我々は持っています${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$（ペアワイズ結合では閉じられる）
• すべての人にとって${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$我々は持っています${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$（相対補元に関して閉じている）。

したがって、${\displaystyle \Omega }$半環でもある。

測度論の文脈では、次のような制約が追加されることがある。

• ${\displaystyle \Omega }$は、可算集合族の非交和である。${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

集合の体（または半体）は、以下の要素も含む環（または半環）である。${\displaystyle \Omega }$その構成要素の一つとして。

• 上の環の任意の（おそらく非可算な）交点${\displaystyle \Omega }$まだ指輪は${\displaystyle \Omega .}$
• もし${\displaystyle A}$は冪集合の空でない部分集合である${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$の${\displaystyle \Omega ,}$次に、以下によって生成されるリングを定義します。${\displaystyle A}$（了解）${\displaystyle R(A)}$）を含むすべてのリングの交差として${\displaystyle A.}$リングが生成されるということは容易にわかる。${\displaystyle A}$最小のリングは${\displaystyle A.}$
• 半環状の場合${\displaystyle S,}$集合のすべての有限和集合の集合${\displaystyle S}$リングは${\displaystyle S:}$$${\displaystyle R(S)=\left\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\right\}}$$（${\displaystyle R(S)}$は、集合のすべての有限な互いに素な和集合の集合に等しい。${\displaystyle S}$)
• コンテンツ​${\displaystyle \mu }$半環上で定義される${\displaystyle S}$生成されたリング上に拡張できます${\displaystyle S.}$ このような拡張機能は他に類を見ないものです。拡張されたコンテンツは以下のように記述できます。$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$$のために${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},}$と共に${\displaystyle A_{i}\in S}$互いに分離している。

さらに、以下のことが証明できる。${\displaystyle \mu }$は、拡張コンテンツも事前測定である場合に限り事前測定であり、かつ、 の事前測定は、${\displaystyle R(S)}$これは事前対策を延長する${\displaystyle S}$必然的にこの形式となる。

測度論では、半環や環そのものには関心がなく、それらによって生成されるσ代数に関心がある。半環上に前測度を構築できるという考え方が重要だ。${\displaystyle S}$（例えばスティルチェス尺度）は、事前測定に拡張できます。${\displaystyle R(S),}$これは最終的にカラテオドリの拡張定理によってσ代数上の測度に拡張できる。半環と環によって生成されるσ代数は同じなので、その違いは実際には重要ではない（少なくとも測度論の文脈では）。実際、カラテオドリの拡張定理は、環を半体で置き換えることによってわずかに一般化できる。^{[ 2 ]}

半環の定義はやや複雑に思えるかもしれないが、次の例はそれがなぜ有用なのかを示している（さらに、半環を含む最小の環を明示的に表現することも可能になる）。

サブセットについて考えてみましょう ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$すべての半開区間の集合によって定義される${\displaystyle [a,b)}$aとbは実数です。これは半環ですが、環ではありません。スティルチェス測度は区間上で定義されます。半環上の可算加法性は、それ自体が区間である可算和集合のみを考慮するため、証明するのはそれほど難しくありません。任意の可算和集合に対して証明するには、カラテオドリの定理を使用します。

まず拡張します${\displaystyle \mu }$外側の尺度まで${\displaystyle \mu ^{*}}$パワーセットで$2X$の${\displaystyle X}$による $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ただし}}S_{1},S_{2},\ldots \in R\right\}}$$ そしてそれをセットに制限する$\displaystyle {\mathcal {B}}}$の${\displaystyle \mu ^{*}}$-可測集合（つまり、カラテオドリ可測集合）は、すべての${\displaystyle M\subseteq X}$そのため${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })}$すべての${\displaystyle S\subseteq X.}$$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は${\displaystyle \sigma }$代数、そして${\displaystyle \mu ^{*}}$は${\displaystyle \sigma }$-カラテオドリの補題により、それに対して加算的である。

確認すべきことは$\displaystyle {\mathcal {B}}}$含む${\displaystyle R.}$つまり、すべてのセットが${\displaystyle R}$は${\displaystyle \mu ^{*}}$測定可能であること。これは、集合を分割したり加算したりする基本的な測度論の手法によって実現されます。

独自性を出すには、他の拡張機能を使用してください。${\displaystyle \nu }$したがって、示す必要があるのは${\displaystyle \nu =\mu ^{*}.}$による${\displaystyle \sigma }$-加法性、一意性は、次の場合に還元できます。${\displaystyle \mu (X)}$は有限であり、ここではそれを前提とする。

これで具体的に証明できる${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$の上${\displaystyle \sigma (R)}$ボレル階層を使用することにより${\displaystyle R,}$そしてそれ以来${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$基本レベルでは、整列帰納法を使用して次のレベルに到達できます。${\displaystyle \omega _{1},}$レベル${\displaystyle \sigma (R).}$

実数直線上のすべての半開区間 [ a , b ) によって生成される代数を取り、空でない区間には無限大の尺度を与えます。カラテオドリ拡張では、すべての空でない集合に無限大の尺度を与えます。別の拡張は計数尺度によって与えられます。

この例は、上記の例をより詳細にしたものです。有理閉開区間は、次の任意の部分集合です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$形式${\displaystyle [a,b)}$、 どこ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$。

させて${\displaystyle X}$なれ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$そして$\displaystyle \Sigma _{0}}$は、に含まれる有理閉開区間のすべての有限和の代数とする。${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$証明するのは簡単だ$\displaystyle \Sigma _{0}}$は実際には代数である。また、 の空でないすべての集合の濃度は、$\displaystyle \Sigma _{0}}$可算無限である（$\displaystyle \aleph _{0}}$)

させて$\displaystyle \mu _{0}}$計数集合関数とする（${\displaystyle \#}$) で定義されています$\displaystyle \Sigma _{0}}$明らかに$\displaystyle \mu _{0}}$有限加法性があり、${\displaystyle \sigma }$-添加剤$\displaystyle \Sigma _{0}}$空でないすべての集合は$\displaystyle \Sigma _{0}}$は無限であり、空でないすべての集合に対して$\displaystyle A\in \Sigma _{0}}$、${\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty }$

さあ、${\displaystyle \Sigma }$になる${\displaystyle \sigma }$-代数によって生成された$\displaystyle \Sigma _{0}}$容易にわかるように、${\displaystyle \Sigma }$は${\displaystyle \sigma }$-すべての部分集合の代数${\displaystyle X}$、そして両方とも${\displaystyle \#}$そして${\displaystyle 2\#}$は、${\displaystyle \Sigma }$そして両方とも$\displaystyle \mu _{0}}$なお、この場合、2 つの拡張機能は次のようになります。${\displaystyle \sigma }$有限であるため${\displaystyle X}$可算名詞である。

もう1つの例は、 σ-有限でない空間に対するフビニの定理のいくつかの形式の失敗と密接に関係している。${\displaystyle X}$はルベーグ測度を持つ単位区間であり、${\displaystyle Y}$は離散計数尺度を持つ単位区間です。${\displaystyle R}$製品によって生成される${\displaystyle A\times B}$どこ${\displaystyle A}$ルベーグは測定可能であり、${\displaystyle B}$は任意の部分集合であり、この集合に尺度を与える。${\displaystyle \mu (A){\text{カード}}(B)}$これは、メジャーに対する非常に多くの異なる拡張機能を持っています。例えば、次のようになります。

• 部分集合の尺度は、その水平方向の各部分の尺度の合計です。これは可能な最小の拡張です。ここでは、対角線の尺度は0です。
• 部分集合の尺度は${\displaystyle \int _{0}^{1}n(x)dx}$どこ${\displaystyle n(x)}$は、与えられた部分集合の点の数です。${\displaystyle x}$-座標。対角線の長さは1です。
• カラテオドリ拡張とは、考えられる最大の拡張である。有限測度の任意の部分集合は、可算個の水平線の和集合に含まれる。特に、対角線は測度が無限大となる。