ブラウアーの3つの主要定理

ブラウアーの主定理は、有限群の表現論における、有限群のブロック（特性p）とそのp局所部分群のブロック、つまりその非自明なp部分群の正規化子を結び付ける3 つの定理です。

2番目と3番目の主定理は、有限群論に適用できる通常の指標の直交関係の改良を可能にする。これらは、現在のところ、通常の指標のみで証明することはできない。3つの主定理はすべて、ブラウアー対応によって述べられる。

以下の定義を拡張する方法は数多くあるが、これはブラウアーの初期の扱いに近い。Gを有限群、pを素数、Fを特性pの体とする。HをGの部分群とし、 Hは以下を含むもの とする。

${\displaystyle QC_{G}(Q)}$

Gの何らかのp部分群Qに対して、正規化子に含まれる

${\displaystyle N_{G}(Q)}$、

ここで、QのGにおける中心化子です。 ${\displaystyle C_{G}(Q)}$

ブラウアー準同型写像（ Hに関して）は、GのF上の群代数の中心からHの対応する代数への線型写像である。具体的には、から への（線型）射影のへの 制限であり、その 核はの外側のGの要素によって張られる。この写像の像は に含まれており 、写像は環準同型でもあることがわかる。 ${\displaystyle Z(FG)}$${\displaystyle FG}$${\displaystyle FC_{G}(Q)}$${\displaystyle C_{G}(Q)}$${\displaystyle Z(FH)}$

これは環準同型なので、FGの任意のブロックBに対して、ブラウアー準同型はBの単位元を 0 またはべき等元に送信します。後者の場合、べき等元はZ ( FH )の(相互に直交する)原始べき等元の和として分解できます。これらの原始べき等元のそれぞれは、 FH のブロックの乗法的単位元です。FHのブロックb は、その単位元がブラウアー準同型の下でのBの単位元の像のこの分解に現れる場合、Bのブラウアー対応であるということになります。

ブラウアーの第一主定理 (Brauer 1944, 1956, 1970) は、が有限群で の-部分群である場合、欠陥群を持つの (特性p ) ブロックの集合と欠陥群Dを持つ正規化子のブロックの間に一対一の関係があることを述べています。この一対一の関係は、 のとき、欠陥群D を持つGの各ブロックには、欠陥群Dを持つHの一意のブラウアー対応ブロックがあるために生じます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle N_{G}(D)}$${\displaystyle H=N_{G}(D)}$

ブラウアーの第二主定理 (Brauer 1944, 1959) は、位数が素数pのべきである元tに対して、一般化分解数を介して、の(特性p ) ブロックが の所定のブロックに対応するための基準を与えます。これらは、 の通常の指標(所定のブロックから) の形式tuの要素( u はにおいて位数pの素数である要素にわたって変化します) への制限が、の既約ブラウアー指標の線形結合として記述されるときに発生する係数です。定理の内容は、 Gの選択されたブロックのブラウアー対応である のブロックからのブラウアー指標のみを使用する必要があるというものです。 ${\displaystyle C_{G}(t)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C_{G}(t)}$${\displaystyle C_{G}(t)}$${\displaystyle C_{G}(t)}$

ブラウアーの第 3 主定理 (Brauer 1964、theorem3) は、Q が有限群Gのp部分群であり、H がを含みに含まれるGの部分群である場合、Hの主ブロックはGの主ブロックの唯一のブラウアー対応ブロックである(ここで、参照されるブロックは特性pで計算される) と述べています。 ${\displaystyle QC_{G}(Q)}$${\displaystyle N_{G}(Q)}$

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• Ellers, H. (2001) [1994]、「Brauer の第一主定理」、数学百科事典、EMS プレス
• Ellers, H. (2001) [1994]、「Brauer の高さゼロ予想」、数学百科事典、EMS プレス
• Ellers, H. (2001) [1994]、「Brauer の第二主定理」、数学百科事典、EMS プレス
• Ellers, H. (2001) [1994]、「Brauer の第三主定理」、数学百科事典、EMS プレス
• ウォルター・フェイト『有限群の表現論』ノースホランド数学図書館、25 。ノースホランド出版、アムステルダム-ニューヨーク、1982年。xiv+502頁。ISBN  0-444-86155-6