個別選択

経済学では、離散選択モデルまたは定性選択モデルは、労働市場への参入または不参入、輸送手段の選択など、2つ以上の離散的な選択肢の間の選択を記述、説明、予測します。このような選択は、消費される各財の量が連続変数であると想定される標準的な消費モデルとは対照的です。連続の場合、微積分法（たとえば、一次条件）を使用して選択される最適量を決定し、回帰分析を使用して需要を経験的にモデル化できます。一方、離散選択分析では、潜在的な結果が離散的であり、最適値が標準的な一次条件によって特徴付けられない状況を調査します。したがって、連続選択変数の問題のように「どれだけ」を調べる代わりに、離散選択分析では「どれ」を調べます。しかし、離散選択分析は、世帯が所有することを選択した自動車の数^[1]や顧客が購入することを決定する通信サービスの分数など、少数の異なる量のみを選択する必要がある場合に、選択された量を調べるためにも使用できます。^[2]ロジスティック回帰やプロビット回帰などの手法は、離散選択の実証分析に使用できます。

離散選択モデルは、有限の選択肢の中から人々が行う選択を理論的または経験的にモデル化する。このモデルは、例えば、どの車を購入するかの選択^{[1] [3]、}どこの大学に進学するかの選択^[4]、どの交通手段（車、バス、鉄道）で通勤するかの選択^[5]など、数多くの用途で使用されている。離散選択モデルは、企業や政府機関などの組織による選択の検討にも使用される。以下の議論では、意思決定単位は個人であると想定されているが、概念はより一般的に適用可能である。ダニエル・マクファデンは、離散選択の理論的基礎を開発した先駆的な研究により、2000年に ノーベル賞を受賞した。

離散選択モデルは、各人の選択をその人の属性と、その人が利用できる選択肢の属性に統計的に関連付けます。たとえば、ある人がどの車を購入するかという選択は、その人の収入や年齢、また、利用可能な各車の価格、燃費、サイズなどの属性に統計的に関連しています。このモデルは、人が特定の選択肢を選択する確率を推定します。このモデルは、人口統計や選択肢の属性の変化に応じて人々の選択がどのように変化するかを予測するためによく使用されます。

離散選択モデルは、個人が選択肢の中からオプションを選択する確率を指定します。離散選択行動の確率的記述は、本質的に確率的であると見なされる個人の行動を反映するために使用されるものではありません。むしろ、情報の欠如が、選択を確率的に記述することにつながります。実際には、決定要因が部分的に観察されたり、不完全に測定されたりするため、個人の選択決定に影響を与えるすべての要因を知ることはできません。したがって、離散選択モデルは、a) 選択肢、b) 人 (個人間の異質性) および時間 (個人内選択ダイナミクス) の嗜好の変化、および c) 異質な選択セットに関連する観測されない要因を説明するために、確率論的な仮定と仕様に依存しています。さまざまな定式化がまとめられ、モデルのグループに分類されています。^{[6]離散選択モデルが}構造方程式モデルと組み合わされて心理的 (潜在的) 変数を統合する場合、それらはハイブリッド選択モデルと呼ばれます。^[7]

• マーケティング研究者は離散選択モデルを使用して消費者の需要を調査し、競合他社のビジネス対応を予測し、選択モデル作成者が価格設定、製品開発、需要推定の問題など、さまざまなビジネス上の問題を解決できるようにします。市場調査では、これは一般にコンジョイント分析と呼ばれます。^[1]
• 交通計画者は、運転手がどのルートを取るか、誰かが高速輸送システムを使うかどうかなど、計画された交通システムの需要を予測するために離散選択モデルを使用します。 ^{[5] [8]}離散選択モデルの最初の応用は交通計画であり、離散選択モデルに関する最も先進的な研究の多くは交通研究者によって行われています。
• 災害計画者や技術者は、建物火災、山火事、ハリケーンなどの小規模および大規模避難における世帯主や建物居住者の意思決定を予測するために離散選択モデルに依存しています。^{[9] [10] [11]これらのモデルは、信頼性の高い}災害管理計画の開発と構築環境のより安全な設計に役立ちます。
• エネルギー予測者や政策立案者は、家庭や企業の暖房システム、家電製品の効率レベル、自動車の燃費レベルの選択に離散選択モデルを使用している。^{[12] [13]}
• 環境研究では離散選択モデルを利用して、例えば釣りやスキーをする場所などのレクリエーションをする人の選択を調査し、キャンプ場、魚の資源、暖房小屋などのアメニティの価値を推測し、水質改善の価値を推定します。^[14]
• 労働経済学者は離散選択モデルを用いて、労働力への参加、職業選択、大学や訓練プログラムの選択を調査します。^[4]
• 生態学的研究では、動物の生息地選択に影響を与えるパラメータを調査するために離散選択モデルが用いられている。^[15]

離散選択モデルには、バイナリ ロジット、バイナリ プロビット、多項ロジット、条件付きロジット、多項プロビット、ネスト ロジット、一般化極値モデル、混合ロジット、および展開ロジットなど、さまざまな形式があります。これらのモデルにはすべて、以下に説明する共通の機能があります。

選択セットは、個人が利用できる選択肢のセットです。離散選択モデルの場合、選択セットは次の 3 つの要件を満たす必要があります。

1. 選択肢の集合は集合的に網羅的でなければなりません。つまり、集合にはすべての可能な選択肢が含まれている必要があります。この要件は、人が必ず集合から選択肢を選択することを意味します。
2. 選択肢は相互に排他的でなければなりません。つまり、1 つの選択肢を選択することは、他の選択肢を選択しないことを意味します。この要件は、人が選択肢の中から 1 つのみを選択することを意味します。
3. セットには、有限の数の選択肢が含まれている必要があります。この 3 番目の要件により、離散選択分析は、従属変数が (理論的には) 無限の数の値を取ることができる回帰分析の形式と区別されます。

たとえば、通勤にどの交通手段を使うかを決める人の選択肢セットには、単独運転、相乗り、バス利用などが含まれます。選択セットは、車で駅まで行き、電車で通勤するなど、特定の移動に複数の手段を使用できるという事実によって複雑になります。この場合、選択肢セットには、考えられるすべての手段の組み合わせを含めることができます。あるいは、選択肢を「主要」手段の選択として定義し、車、バス、鉄道、その他 (徒歩、自転車など) で構成されるセットにすることもできます。選択肢セットを網羅的にするため、「その他」の選択肢が含まれていることに注意してください。

状況に応じて、人によって選択肢が異なる場合があります。たとえば、 2009 年時点ではScion自動車はカナダでは販売されていなかったため、カナダの新車購入者はアメリカの消費者とは異なる選択肢に直面していました。離散選択モデルの作成では、このような考慮事項が考慮されます。

離散選択モデルは、人が特定の選択肢を選択する確率を指定します。この確率は、選択肢と人に関連する観測変数の関数として表されます。一般的な形式では、人n が選択肢iを選択する確率は次のように表されます。

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

どこ

${\displaystyle x_{ni}}$は、人nが直面する選択肢iの属性のベクトルであり、

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$は、人nが直面する他の選択肢（ i以外）の属性のベクトルであり、

${\displaystyle s_{n}}$は人nの特徴のベクトルであり、

${\displaystyle \beta }$統計的に推定される、変数が確率に与える影響を示すパラメータのセットです。

上記の交通手段の例では、移動時間や費用などの手段の属性 ( x _ni ) と、年収、年齢、性別などの消費者の特性 ( s _n ) を使用して、選択確率を計算できます。選択肢の属性は人によって異なります。たとえば、車、バス、鉄道で通勤する場合の費用と時間は、その人の自宅や職場の場所によってそれぞれ異なります。

プロパティ:

• P _{ni は}0から1の間である
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ ここで、J は選択肢の総数です。
• ( i を選択する人の予想される割合)ここで、N は選択を行う人の数です。${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$

異なるモデル（つまり、異なる関数 G を使用するモデル）には異なる特性があります。以下に代表的なモデルを紹介します。

離散選択モデルは効用理論から導き出すことができます。この導き出しは、次の 3 つの理由で有用です。

1. これは確率P _{niに正確な意味を与える。}
2. これは、 Gの関数形式の選択など、代替モデル仕様を動機付け、区別します。
3. これは、選択肢の属性の変化による消費者余剰（補償変動）の変化を計算するための理論的根拠を提供します。

U _{ni は、}人n が選択肢i を選択することで得られる効用 (または純利益または幸福) です。人の行動は効用最大化です。つまり、人 n は最も高い効用をもたらす選択肢を選択します。人の選択は、各選択肢の ダミー変数y _{niによって指定されます。}

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、選択を調査する研究者について考えてみましょう。その人の選択は多くの要因に依存しており、そのうちのいくつかは研究者が観察し、いくつかは研究者が観察しません。人が選択肢を選択することで得られる効用は、研究者が観察する変数に依存する部分と、研究者が観察しない変数に依存する部分に分解されます。線形形式では、この分解は次のように表されます。

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

どこ

• ${\displaystyle z_{ni}}$は、人nの選択肢i に関連する観測変数のベクトルであり、選択肢の属性x _niに依存し、人s _nの属性と相互作用する可能性があり、 何らかの数値関数zに対して次のように表現できます。${\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$
• ${\displaystyle \beta }$は観測変数の係数の対応するベクトルであり、
• ${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$個人の選択に影響を与えるすべての観察されない要因の影響を捉えます。

選択確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

βが与えられた場合、選択確率は、ランダム項ε _nj − ε _ni (研究者は観察しないため、研究者の観点からはランダムである) がそれぞれの量を下回る確率です。すべてのiに対するε _niの異なる分布とβの異なる処理から、異なる選択モデル (つまり、 G の異なる仕様) が生じます。 ${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$

人が特定の選択肢を選択する確率は、その選択肢を選択することの効用と他の選択肢を選択することの効用を比較することによって決定されます。

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

最後の項が示すように、選択確率は選択肢間の効用の差にのみ依存し、効用の絶対レベルには依存しません。同様に、すべての選択肢の効用に定数を追加しても、選択確率は変わりません。

効用には単位がないため、効用のスケールを正規化する必要があります。効用のスケールは、離散選択モデルにおける誤差項の分散によって定義されることがよくあります。この分散は、データが収集された時期や場所など、データセットの特性に応じて異なる場合があります。したがって、分散の正規化は、さまざまなデータセットにわたって推定されたパラメータの解釈に影響します。

離散選択モデルは、まず利用可能な選択肢の数に応じて分類できます。

* 二項選択モデル（二分法）：2つの選択肢あり

* 多項式選択モデル（多項式）: 3つ以上の選択肢がある

多項選択モデルは、モデルの仕様に応じてさらに分類できます。

* 標準ロジットなどのモデルでは、観測されない要因と代替要因の間に相関がないと仮定する

* 代替案間の観測されていない要因の相関関係を許容するモデル

さらに、選択肢のランキング（第一選択、第二選択、第三選択など）や評価データを調べるための特定の形式のモデルも利用できます。

各モデルの詳細については、次のセクションで説明します。

U _{n は、}人 n が行動を起こすことで（行動を起こさないこととは対照的に）得る効用（または純利益）です。人が行動を起こすことで得る効用は、その人の特性に依存します。その特性の一部は研究者によって観察され、一部は観察されません。U n > 0 の場合、人は行動を起こします（y _n = 1）。観察_されない項ε _nは、ロジスティック分布を持つと想定されます。仕様は次のように簡潔に記述されます。

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

モデルの説明はモデル A と同じですが、観測されない項はロジスティック分布ではなく標準正規分布になります。

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

ここで は標準正規分布の累積分布関数です。 ${\displaystyle \Phi }$

U _niは、人n が選択肢i を選択することで得られる効用である。各選択肢の効用は、選択肢の属性と、おそらくその人の属性との相互作用によって決まる。観測されない項は、極値分布を持つと仮定される。^{[注 1]}

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

この仕様は、同じく2値ロジットである上記のモデルAに関連付けることができます。特に、P _{n 1は}次のようにも表すことができます 。

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

2つの誤差項がiid 極値^{[nb 1]}である場合、それらの差は分布ロジスティックであり、これが2つの仕様が同等であることの根拠となることに注意してください。

モデルの説明はモデル C と同じですが、2 つの観測されない項の差がロジスティック分布ではなく標準正規分布している点が異なります。

すると、その行動を取る確率は

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

ここで、Φは標準正規分布の累積分布関数です。

すべての選択肢の効用は同じ変数s _nに依存しますが、係数は選択肢ごとに異なります。

• U _ni = β _is n + ε _ni、_​
• 効用の違いだけが問題となるので、1つの選択肢について正規化する必要がある。${\displaystyle \beta _{i}=0}$${\displaystyle \beta _{1}=0}$
• ε _niはiid 極値^{[nb 1]}

選択確率は次の式で表される。

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

ここで、J は選択肢の総数です。

それぞれの選択肢の効用はその選択肢の属性に依存し、場合によっては人の属性とも相互作用します。

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

ここで、J は選択肢の総数です。

モデルEは、変数を適切に再指定することでモデルFと同じ形式で表現できることに注意する。定義すると、クロネッカーデルタとs _nは モデルEから得られる。次に、モデルFは次のように得られる。 ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$${\displaystyle \delta _{jk}}$

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

ここで、J は選択肢の総数です。

標準ロジットモデルは、観測されない要因と代替案の間に相関関係がないと仮定しているため、常に適切であるとは限りません。この相関関係の欠如は、特定の代替案間の代替パターンにつながりますが、これは特定の状況では常に現実的であるとは限りません。この代替パターンは、標準ロジットモデルの無関係な代替案の独立性（IIA）特性と呼ばれることがよくあります。^{[16] [17]}代替案間の相関関係やより一般的な代替パターンを許容するモデルがいくつか提案されています。

• ネストロジットモデル - 選択肢セットを「ネスト」に分割することで選択肢間の相関関係を捉えます。
  • クロスネストロジットモデル^[18] (CNL) - 選択肢は複数のネストに属する可能性がある
  • Cロジットモデル^[19] - 「共通性因子」を用いて選択肢間の相関関係を捉える
  • ペア組み合わせロジットモデル^[20] - 経路選択問題に適しています。
• 一般化極値モデル^[21] - ランダム効用モデル^[17]から派生したモデルの一般クラス。多項ロジットとネストロジットが属する。
• 条件付きプロビット^{[22] [23]} - 結合正規分布を使用して選択肢間の完全な共分散を許可する。
• 混合ロジット^{[13] [14] [23]} - あらゆる形式の相関および置換パターンを許可します。^[24]混合ロジットが共同正規ランダム項を伴う場合、モデルは「ロジットカーネル付き多項プロビットモデル」と呼ばれることがあります。^{[17] [25]}経路選択に適用できます。^[26]

次のセクションでは、ネスト ロジット、GEV、プロビット、混合ロジット モデルについて詳しく説明します。

このモデルはモデル F と同じですが、観測されない効用要素が選択肢間で独立しているのではなく、選択肢間で相関している点が異なります。

• U _ni = βz _ni + ε _ni、
• 各εniの周辺分布は極端な値である_が^{[注 1]}、それらの結合分布によりそれらの間の相関関係が許容される。
• 確率は、指定された相関のパターンに応じてさまざまな形をとります。一般化極値を参照してください。

このモデルはモデル G と同じですが、観測されない項が正規分布しており、相関と不均一分散のパターンが許容される点が異なります。

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

ここで、は平均 0 、共分散 の結合正規密度です。 ${\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

この選択確率の積分は閉じた形式を持たないため、確率は求積法またはシミュレーションによって近似されます。

が単位行列（相関や異分散がない）である場合、モデルは独立プロビットと呼ばれます。 ${\displaystyle \Omega }$

近年、混合ロジットモデルが人気を集めている理由はいくつかある。第一に、このモデルで は に加えて がランダムになることが許される。 のランダム性は、人によって好みがランダムに異なることや、柔軟な代替パターンを生み出す代替案間の相関関係を考慮に入れている。第二に、シミュレーションの進歩により、モデルの近似がかなり容易になった。さらに、マクファデンとトレインは、説明変数と係数の分布を適切に指定すれば、混合ロジットによって真の選択モデルを任意の精度で近似できることを示した。^[24]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \beta }$

• U _ni = βz _ni + ε _ni、
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$任意の分布 に対して、 は推定される分布パラメータ（平均や分散など）の集合であり、${\displaystyle {\it {f}}}$${\displaystyle \theta }$
• ε _ni ~ iid 極値、 ^{[注記 1]}

選択確率は

${\displaystyle P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,}$

どこ

${\displaystyle L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}}$

選択肢の総数 で評価されるロジット確率です。${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle J}$

この選択確率の積分は閉じた形を持たないため、確率はシミュレーションによって近似される。^[27]

離散選択モデルは、最尤推定法を用いて推定されることが多い。ロジットモデルはロジスティック回帰法で推定でき、プロビットモデルはプロビット回帰法で推定できる。最大スコア推定法などのノンパラメトリック法も提案されている。^{[28] [29]}このようなモデルの推定は、通常、パラメトリック法、セミパラメトリック法、ノンパラメトリック最大尤度法によって行われるが、^[30]部分最小二乗パスモデリング手法でも行うことができる。^[31]

多くの場合、人が選んだ選択肢だけではなく、選択肢の順位付けも観察されます。たとえば、新車を購入した人に、その車が提供されていなかったら何を購入したかを尋ね、その人の第一の選択肢に加えて第二の選択肢に関する情報を提供します。または、アンケートでは、回答者に次のような質問をすることがあります。

例: 次の携帯電話通話プランを、最も好むものから最も好まないものの順にランク付けします。

* 月額 60 ドルでいつでも通話無制限、2 年契約で解約手数料 100 ドル

* いつでも 400 分まで月額 30 ドル、400 分を超えると 1 分あたり 3 セント、1 年契約で解約手数料 125 ドル

* 月額 35 ドルで 500 分まで、500 分を超えると 1 分あたり 3 セント、契約料や解約料はかかりません。

* いつでも1000分まで月額50ドル、1000分を超えると1分あたり5セント、2年契約で75ドルの早期解約料がかかります。

上記のモデルは、第一選択肢以外のランキングを説明するために適応できます。ランキング データ用の最も有名なモデルは、展開ロジットとその混合バージョンです。

標準ロジット (モデル F) と同じ仮定の下では、選択肢の順位付けの確率は標準ロジットの積です。このモデルは「展開ロジット」と呼ばれます。これは、通常、選択された選択肢の 1 つのロジット式として表される選択状況が、ランク付けされた選択肢ごとに個別のロジット式を持つように拡張 (「展開」) されるためです。展開ロジット モデルは、標準ロジット モデルの積であり、各選択肢がランク付けされるにつれて選択セットが減少し、次の選択で利用可能な選択肢のセットが残ります。

一般性を失うことなく、選択肢は、選択肢1が第一選択、選択肢2が第二選択、などというように、人の順位を表すように再ラベル付けすることができる。J個の選択肢を1、2、…、Jと順位付けする選択確率は、

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

標準ロジットと同様に、展開ロジット モデルは、観測されない要因と代替案の間に相関関係がないことを前提としています。展開ロジットは、標準ロジットが一般化されるのと同じ方法で一般化でき、代替案間の相関関係とランダムな嗜好の変化に対応できます。「混合展開ロジット」モデルは、混合ロジット モデル (モデル I) のL _niについて、上記の順位付けの確率によって得られます。

このモデルは計量経済学では順位ロジットモデルとしても知られており、1981年にベッグス、カーデル、ハウスマンによってその分野で導入されました。 ^{[32] [33]}一つの応用例として、教授候補者の順位付けを説明したコームズらの論文があります。^[33]生物医学文献ではプラケット・ルースモデルとしても知られています。^{[33] [34] [35]}

調査では、回答者に次のような評価を求められることがよくあります。

例: 大統領の業績をどの程度評価しますか。

1: 非常に悪い

2: ひどい

3: わかりました

4: まあ

5: とても良い

または、

例: 1 がまったく同意しない、5 が完全に同意することを示す 1 から 5 のスケールで、次の文にどの程度同意しますか。「連邦政府は、住宅の差し押さえに直面している人々を支援するために、より多くのことを行うべきです。」

多項式離散選択モデルは、これらの質問に対する回答を調べることができます (モデル G、モデル H、モデル I)。ただし、これらのモデルは、回答者が各可能な回答に対して何らかの効用を得て、最大の効用を提供する回答をする、という概念に基づいて導出されています。回答者は、この指標の高さに応じて、質問と回答に関連する何らかの潜在的な指標またはインデックスを持っていると考える方が自然かもしれません。順序ロジット モデルと順序プロビット モデルは、この概念に基づいて導出されます。

U _{n は}調査対象者nの調査対象に対する感情や意見の強さを表すものとする。特定の回答を選択する際に意見のレベルにカットオフがあると仮定する。例えば、差し押さえに直面している人々を助けるという例では、人は以下を選択する。

• 1、U _n < aの場合
• 2、a < U _n < bの場合
• 3、b < U _n < cの場合
• 4、c < U _n < dの場合
• 5、U _n > dの場合、

いくつかの実数a、b、c、dに対して。

ロジスティックを定義すると、各可能な応答の確率は次のようになります。 ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

モデルのパラメータは係数βとカットオフポイントa − dであり、識別のためにそのうちの 1 つを正規化する必要があります。可能な応答が 2 つしかない場合、順序付きロジットは、1 つのカットオフポイントがゼロに正規化されたバイナリロジット (モデル A) と同じです。

モデルの説明はモデル K と同じですが、観測されない項はロジスティック分布ではなく正規分布になります。

選択確率は（は標準正規分布の累積分布関数）です。 ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$

• バイナリ回帰
• 動的な離散選択

• アンダーソン、S.、A.デパルマ、J.-F.ティセ（1992）、製品差別化の離散選択理論、MITプレス、
• Ben-Akiva, M.; Lerman, S. (1985).離散選択分析: 理論と旅行需要への応用. MIT プレス.
• グリーン、ウィリアム H. (2012)。計量経済分析（第 7 版）。アッパー サドル リバー: ピアソン プレンティス ホール。pp. 770–862。ISBN 978-0-13-600383-0。
• Hensher, D.; Rose, J.; Greene, W. (2005)。応用選択分析：入門書。ケンブリッジ大学出版局。
• Maddala, G. (1983).計量経済学における限定従属変数と質的変数. ケンブリッジ大学出版局.
• McFadden, Daniel L. (1984)。質的応答モデルの計量分析。計量経済学ハンドブック、第 2 巻、第 24 章。Elsevier Science Publishers BV。
• Train, K. (2009) [2003].離散選択法とシミュレーション. ケンブリッジ大学出版局.