ベルトランの公理

数論において、ベルトランの公理とは、任意の整数に対して、少なくとも1つの素数が存在するという定理である。 ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

より制限の少ない定式化は次のように なる。任意の に対して、少なくとも1つの素数が存在し、${\displaystyle n>1}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n.}$

別の定式化は、が - 番目の素数である場合、次のようになる。${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

この命題は1845年にジョセフ・ベルトラン^[2]（1822–1900）によって初めて推測されました。ベルトラン自身がすべての整数に対してこの命題を検証しました。 ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$

彼の予想は1852年にチェビシェフ（1821–1894）によって完全に証明されたため^[3]、この公理はベルトラン・チェビシェフの定理またはチェビシェフの定理とも呼ばれています。チェビシェフの定理は、素数計算関数（ 未満の素数の個数）との関係として述べることもできます。 ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.}$

素数定理( PNT ) によれば、xまでの素数の数はπ(x)で、およそx /log( x ) なので、 x を2 xに置き換えると、 2 xまでの素数の数はxまでの素数の 2 倍に漸近することがわかります(項 log(2 x ) と log( x ) は漸近的に同値です)。したがって、nが大きい場合、 nと 2 nの間の素数の数はおよそn /log( n )なので、特にこの区間には、ベルトランの公理で保証されるよりもはるかに多くの素数が存在します。そのため、ベルトランの公理は PNT よりも比較的弱い定理です。しかし、 PNT は奥深い定理であるのに対し、ベルトランの公理はより覚えやすく、より簡単に証明でき、nの値が小さい場合に何が起こるかについても正確な主張をしています(さらに、チェビシェフの定理は PNT より前に証明されていたため、歴史的に興味深いものです)。

類似しており、まだ解決されていないルジャンドル予想は、すべてのn  ≥ 1に対して、 n ² < p < ( n  + 1) ²となる素数pが存在するかどうかを問うものです。この場合も、 n ² と ( n  + 1) ²の間には 1 個だけではなく多数の素数が存在することが予想されますが、この場合 PNT は役に立ちません。x ^{2までの素数の数は}x ² /log( x ² )に漸近しますが、 ( x  + 1) ²までの素数の数は( x  + 1) ² /log(( x  + 1) ² )に漸近し、これはx ²までの素数の推定値に漸近します。したがって、前のxおよび 2 xの場合とは異なり、大きなnに対するルジャンドル予想の証明は得られません。PNT の誤差推定値は、この区間に素数が 1 つでも存在することを証明するのに十分ではありません (実際、十分であるはずがありません)。より詳細には、PNTはすべてのε > 0の境界を推定することを可能にし、 x > Sに対して次のSが存在する。

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;<\;\pi (x^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;,}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;<\;\pi ((x+1)^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;.}$

下限π((x+1) ² )と上限π(x ² )の比は

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\log x}{\log(x+1)}}\cdot {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\;.}$

のとき、すべてのx > 0に対して、かつ固定されたεに対して、すべてのx > Rに対して上記の比が 1 未満となるようなRが存在することに注意してください。したがって、 π(x ² )とπ((x+1) ² )の間に素数が存在することは保証されません。より一般的には、これらの単純な境界は、任意の正の整数 n > 1 に対してπ(x ⁿ )とπ((x+1) ⁿ )の間に素数が存在することを証明するには不十分です。 ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\rightarrow 1}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle {\frac {\log x}{\log(x+1)}}<1}$${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}<1}$

1919年、ラマヌジャン（1887-1920）はガンマ関数の性質を利用してチェビシェフの証明よりも簡単な証明を与えた。^{[4]彼の短い論文には公理の一般化が含まれており、後に}ラマヌジャン素数の概念が生まれた。ラマヌジャン素数のさらなる一般化も発見されており、例えば、

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

p _kはk番目の素数、R _{n は}n番目のラマヌジャン素数です。

ベルトランの公理の他の一般化は、初等的方法を用いて得られている。（以下では、n は正の整数の集合を通る。）1973年、デニス・ハンソンは、 3 nと 4 nの間に素数が存在することを証明した。^[5] 2006年、明らかにハンソンの結果を知らなかったM.エル・バクラウイは、 2 nと 3 nの間に素数が存在するという証明を提案した。^[6] シェベレフ、グレートハウス、モーゼス（2013）は、同様の区間の関連する結果について議論している。^[7]

ガウス整数に関するベルトランの公理は、素数分布の考え方を拡張したものであるが、この場合は複素平面上である。ガウス素数は直線に沿ってだけではなく平面上にも広がり、複素数を2倍にすることは単に2を掛けるのではなく、そのノルムを2倍にする（1+iを掛ける）ことなので、定義が異なれば結果も異なり、いくつかはまだ推測であり、いくつかは証明されている。^[8]

ベルトランの公理は、順列群への応用として提案された。シルベスター(1814–1897) は、より弱い命題を次のように一般化した。kより大きいk個の連続する整数の積は、 kより大きい素数で割り切れる。ベルトランの (より弱い) 公理は、 k  =  nをとり、n  + 1、n + 2、そしてn  +  k = 2 n までのk個の数( n > 1 ) を考えることによって導かれる。シルベスターの一般化によれば、これらの数のうちの 1 つはk より大きい素因数を持つ 。これらの数はすべて 2( k + 1)より小さいので、 k より大きい素因数を持つ数には素因数 が 1 つだけあり、したがって素数である。 2 n は素数ではないことに注意し、したがって実際にn  <  p  < 2 nとなる素数 p が存在することが分かった。

1932年、エルデシュ（1913–1996）は、二項係数とチェビシェフ関数を 使用したより簡単な証明も発表しました。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\log(p)}$

ここでp ≤ xは素数である。詳細についてはベルトランの公理の証明を参照のこと。 ^[9]

エルデシュは 1934 年に、任意の正の整数kに対して、任意のn  >  Nに対してnと 2 n の間に少なくともk個の素数が存在するような自然数 Nが存在することを証明しました。同等の記述は 1919 年にラマヌジャンによって証明されていました (ラマヌジャン素数を参照)。

素数定理から、任意の実数 に対して が存在し、すべての実数に対して となる素数が存在することが分かります。たとえば、次のように示せます。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n_{0}>0}$${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

これは、が無限大になることを意味している（特に、十分に大きいに対しては が1より大きい）。^[10]${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

非漸近的境界も証明されている。1952年、名倉実郎はに対してと の間には常に素数が存在することを証明した。^[11]${\displaystyle n\geq 25}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$

1976年、ローウェル・シェーンフェルドは、に対して、開区間には常に素数が存在することを示した。^[12]${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$

ピエール・デュサールは1998年の博士論文で上記の結果を改良し、、、特に、に対して、区間 に素数が存在することを示し た。[ 13 ^]${\displaystyle k\geq 463}$${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$${\displaystyle x\geq 3\,275}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{x}}}\right)x}$

2010年にピエール・デュサートは区間内に少なくとも1つの素数が存在することを証明した。^[14]${\displaystyle x\geq 396\,738}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\log ^{2}{x}}}\right)x}$

2016年、ピエール・デュサールは2010年の結果を改善し、（命題5.4） の場合、区間 に少なくとも1つの素数が存在することを示しました。^[15]彼はまた（系5.5） の場合、区間 に少なくとも1つの素数が存在することも示しています。 ${\displaystyle x\geq 89\,693}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\log ^{3}{x}}}\right)x}$${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\log ^{2}{x}}}\right)x}$

ベイカー、ハーマン、ピンツは、十分に大きいすべての に対して、区間内に素数が存在することを証明した。^[16]${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$${\displaystyle x}$

デュデックは、すべての に対して、と の間に少なくとも1つの素数が存在することを証明した。^[17]${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle (n+1)^{3}}$

デュデックはまた、リーマン予想がすべて の素数に対して、${\displaystyle x\geq 2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^[18]

• 素数の列は1 とともに完全な列です。任意の正の整数は、それぞれを最大 1 回使用して素数 (および 1) の和として表すことができます。
• 整数である唯一の調和数は1である。 ^[19]

• オッパーマンの予想
• プライムギャップ
• ベルトランの公理の証明
• ラマヌジャン素数

• P.エルデシュ（1934）「シルベスターとシュアの定理」ロンドン数学会誌、9（4）：282-288、doi：10.1112/jlms/s1-9.4.282
• 名倉実郎 (1952)、「少なくとも 1 つの素数を含む区間について」、日本学士会誌、28 (4): 177–181、doi : 10.3792/pja/1195570997
• Chris Caldwell、 Prime Pages用語集の Bertrand の公理。
• H. リカード (2005)、「ゴールドバッハの予想はベルトランの公理を意味する」、アメリカ数学月刊誌、112 :492
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007年）。乗法数論I.古典理論。ケンブリッジ高等数学論文集。第97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。p.49。ISBN 978-0-521-84903-6。
• J. ソンドウ (2009)、「ラマヌジャン素数とベルトランの公理」、アメリカ数学月刊誌、116 (7): 630–635、arXiv : 0907.5232、doi :10.4169/193009709x458609

• Sondow, Jonathan & Weisstein, Eric W.「ベルトランの公理」。MathWorld。
• Mizar システムの弱いバージョンの証明: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• ベルトランの公理 − 弱いバージョンの証明は www.dimostriamogoldbach.it/en/ をご覧ください