海洋の傾圧不安定性

傾圧不安定性は、大気と海洋において根本的に重要な流体力学的不安定性である。傾圧不安定性は、水平規模が10～100 kmの一時的な中規模渦の形成につながる可能性がある。 ^{[1] [2]}対照的に、海洋における最大規模の流れは海流と呼ばれ、最大規模の渦は主に2つの海流の剪断によって生成され、静的な中規模渦は障害物の周りの流れによって形成される（渦（流体力学）のアニメーションで見られるように） 。^{[2] [3]}中規模渦は旋回運動を伴う円形の流れであり、海洋の全運動エネルギーの約90%を占める。^{[4] [5]}したがって、熱、塩分、栄養素などの混合と輸送に重要な役割を果たしている。

傾圧媒体では、密度は温度と圧力の両方に依存します。^[6]密度に対する温度の影響により、密度の等しい線（等密度線）と圧力の等しい線（等圧線）が交差します。これは、密度が圧力の関数のみである順圧流体とは対照的です。この順圧の場合、等圧線と等密度線は平行です。傾圧媒体で等圧線と等密度線が交差すると、傾斜対流のプロセスによって傾圧不安定性が発生する可能性があります。傾圧不安定性のサイズ、したがってそれが作成する渦も、ロスビー変形半径に比例し、ロスビー変形半径は海洋の緯度によって大きく異なります。

傾圧流体では、地衡流バランスと静水力バランスを組み合わせた熱風バランスが保たれます。これは、等密度線が等圧線に対して傾斜できることを意味します。さらに、これにより、水平温度と密度勾配の結果として、高度に応じて水平速度が変化することも生じます。

熱風平衡、地衡流平衡、静水力平衡の下では、流れは平衡状態にある。しかし、これは最小エネルギーの平衡状態ではない。^[7]等密度面の傾斜が減少すると、重心が低くなり、したがって位置エネルギーも低下する。また、圧力勾配も減少し、運動エネルギーが増加する。しかし、熱風平衡の下では、等密度面の傾斜の減少は自発的には発生しない。位置渦度の変化が必要である。^[7]特定の条件下では、熱風平衡下での平衡のわずかな摂動が増加し、初期状態からの摂動が大きくなり、不安定性が増大する可能性がある。

傾圧不安定性は、水平方向の密度勾配に蓄えられた位置エネルギーを抽出し、この「渦位置エネルギー」を使って渦を駆動するメカニズムであると考えられることが多い。 ^[8]

これらの傾圧不安定性は、「傾斜対流」または「斜めの熱対流」のプロセスによって開始される可能性があります。これを理解するには、定常状態で熱風バランスが取れている流体を考えてみましょう。最初、流体塊は位置 A にあります。流体塊は、元の密度を保ったまま、位置 B にわずかに乱されます。したがって、流体塊は、現在、それ自身よりも密度の低い位置にあり、塊は元の位置まで沈みます。つまり、流体塊は安定しています。しかし、塊が位置 C に移動すると、塊自体よりも密度の高い流体に囲まれます。周囲に比べて密度が比較的低いため、塊はさらに浮き上がります。ここで、小さな乱れが大きくなり、傾圧不安定性を意味します。

不安定性が発生する基準を定義することができます。前述のように、傾圧流体では熱風バランスが保たれ、次の 2 つの関係が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {g}{\rho f}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\end{aligned}}}$そして、 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {g}{\rho f}}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}\end{aligned}}}$

ここで、は密度、はそれぞれ水平方向（緯度と経度）と垂直方向の空間座標です。 およびは、それぞれ- 方向と- 方向の速度ベクトルの水平方向（帯状と子午線）成分を表します。 したがって、および は2 つの水平密度勾配です。は地球表面での重力加速度、 はコリオリのパラメータです。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathbf {u}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial x}}}$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial y}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

したがって、方向の水平密度勾配は、深さにわたって水平流速の勾配につながります。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle \left({\frac {\partial \rho }{\partial y}}\right)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)}$

変位の傾きは次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta y}}={\frac {w'\Delta t}{v'\Delta t}}={\frac {w'}{v'}}}$、

ここで、およびはそれぞれ擾乱の水平速度と垂直速度です。 ${\displaystyle v'}$${\displaystyle w'}$

変位の傾きが等密度線の傾きよりも小さい場合、不安定性が発生します。等密度線は数学的に次のように記述できます。次の場合に不安定性が発生します。 ${\displaystyle z=H+{\bar {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\bar {a}}}{dy}}>{\frac {w'}{v'}}.\end{aligned}}}$

これからは、問題を単純化するために、上層と下層の傾斜がそれぞれ と である2層システムのみを考慮する。これは、古典的なフィリップスモデルに似ている。^[9]熱風バランスから、次の式が得られる。 ${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\bar {a}}}{dy}}={\frac {f_{0}}{g'}}\left(U_{1}-U_{2}\right),\end{aligned}}}$

ここで、 はベータ平面近似による赤道における換算重力とコリオリパラメータです。 ${\displaystyle g'={\frac {g(\rho _{2}-\rho _{1})}{\rho _{0}}}}$${\displaystyle f_{0}}$

摂動の傾きのスケール解析を行うことで、この数学的問題に物理量を割り当てることができる。その結果、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {w'}{v'}}\sim {\frac {H}{L}}{\frac {U_{1}-U_{2}}{f_{0}L}}\sim {\frac {H}{L}}{\frac {\beta _{0}L}{f_{0}}}\end{aligned}}}$、

ここで、はスケールの高さ、は水平方向の長さのスケール、 はロスビーパラメータです。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta _{0}}$

このことから、不安定性は次のような場合に発生すると言える。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{0}^{2}L^{2}}{g'H}}>1\end{aligned}}}$または、 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{0}^{2}}{g'H}}{\frac {\Delta U}{\beta _{0}}}>1\end{aligned}}}$

ここで、は換算重力、 は  下層と上層の速度差です。この基準は、小さな摂動が大きな摂動に成長するかどうか、つまり不安定性が発生するかどうかを識別するために使用できます。このことから、不安定性を得るには何らかのせん断が必要であることがわかります。 が大きい長波（摂動）では不安定性が発生しやすく、 であり、したがってベータ効果は安定化します。^[7]${\displaystyle g'={\frac {g(\rho _{2}-\rho _{1})}{\rho _{0}}}}$${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}}$${\displaystyle \Delta U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta _{0}}$

さらに、傾圧ロスビー変形半径については、 が成り立つ。ここで不安定性基準は次のように単純化される。 ${\displaystyle R\sim {\frac {\sqrt {g'H}}{f_{0}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L\gtrsim R\end{aligned}}}$または。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U\gtrsim \beta _{0}R^{2}\end{aligned}}}$

この解析から、傾圧不安定性はロスビー数が小さい場合に重要であることもわかります。 ${\displaystyle Ro={\frac {U}{Lf}}}$

最近、高度計による海面高度データを用いて、海洋の中規模渦に関する多くの観測が行われています。^[10]傾圧不安定性の成長率が最も高い領域は、実際に渦の多い領域と一致することが示されています。^[11]さらに、低気圧性渦と高気圧性渦の両方の軌道も研究できます。^[10]このことから、低気圧性渦と高気圧性渦はほぼ同じ数が観測され、したがって、これら2つのタイプの生成は非常に似ていると結論付けられます。ただし、寿命の長い渦を考慮すると、高気圧性渦が明らかに優勢であることがわかりました。これは、低気圧性渦は安定性が低く、したがってより急速に減衰することを意味しています。^{[10]さらに、}テイラー・プラウドマン定理の結果としての地形的な操縦により、海洋の浅瀬の上には渦は存在しません。最後に、寿命が 1.5 年から 2 年を超える極めて長寿命の渦は、おそらく背景の流れが小さいため、環流でのみ見つかります。

傾圧不安定性には4つのタイプがある。^[12]

• イーディタイプ
• チャーニー表面タイプ
• チャーニーボトムタイプ
• フィリップス型

これら4つのタイプは古典的なモデル（それぞれ古典的なイーディーモデル、^[13]、チャーニーモデル、フィリップスモデル、^[14]）に基づいていますが、観測からも区別できます。全体的に、観測された傾圧不安定性のうち、47%はチャーニー表面タイプ、33%はフィリップスタイプ、13%はイーディータイプ、そしてわずか7%はチャーニー底タイプです。^[12]これらの異なるタイプの傾圧不安定性はすべて、異なるタイプの渦につながります。ここで重要なのは、水平速度の流れ関数の複素固有関数の絶対値であるψです。^[12]これは傾圧不安定性の垂直構造を表し、このタイプの不安定性および渦が形成される可能性が非常に低いことを意味する0から、高いことを意味する1までの範囲です。

Eady型は、上部と下部で最大 ψ が 1 で、全深度の半分のところで最小値 0.5 前後になります。このタイプのモデルでは、渦は海洋の表面と底部の両方で発生します。そのため、表面および底部強化型とも呼ばれ、主に高緯度で見られます。^[12] Charney表面型は表面強化型で、表面で最大 ψ を持ちますが、Charney底部型は底部でのみ傾圧不安定性を示します。Charney底部型では、ψ は表面にもあり、深度が増すにつれて 1 に増加します。Charney表面型は亜熱帯に見られ、Charney底部型は高緯度に存在します。最後に、Phillips型では、ψ は表面でゼロで、表面のすぐ下で大きく増加して 1 になり、深度が増すにつれて再びゆっくりとゼロに減少します。これらのフィリップス型不安定性の位置は、地下渦の発生と一致しており、これもまた、傾圧不安定性が渦の形成につながるという考えを裏付けています。^{[12]これらは主に熱帯地方と}亜熱帯環流の東戻り流で見られます。

存在する傾圧不安定性のタイプも、平均背景流に依存することがわかった。^[12]イーディー型は、上層海洋の東向きの平均流が強く、深海では西向きの弱い流れに適している。チャーニー底型の場合も同様であるが、深海では西向きの流れがより強いことがわかった。チャーニー表面型とフィリップス型はより弱い背景流に対して存在し、これらが海洋環流で優勢である理由も説明できる。