どこにも可換な半群がない

数学において、どこにも可換でない半群とは、 S内のすべてのaとbに対して、ab = baならばa = b となるような半群 S のことである。^[1]半群Sがどこにも可換でないのは、Sの任意の 2 つの要素が互いに逆元である場合に限ります。 ^[1]

どこでも可換な半群はいくつかの異なる方法で特徴付けることができる。Sが半群である場合、次のステートメントは同値である：^[2]

• Sはどこでも可換ではありません。
• Sは長方形の帯である（ジョン・ハウィー^[3]が用いた用語の意味で）。
• S内のすべてのaとbについて、 aba = aです。
• S内のすべてのa、b、cについて、a ² = aかつabc = acです。

定義上、長方形帯は具体的な半群であるにもかかわらず、その定義が半群の基本的な二項演算に基づいて定式化されていないという欠点がある。この欠点は、どこでも可換な半群の定義を介したアプローチによって修正される。^[2]

どこにも属さない可換半群が長方形帯であることを確認するために、S をどこにも属さない可換半群とします。どこにも属さない可換半群の定義特性を使用すると、Sのすべてのaに対して、グリーンクラスR _aとL _aの共通部分に一意の要素aが含まれることがわかります。S / L をSのLクラスの族とし、S / R をSのRクラスの族とします。マッピング     

ψ : S → ( S  / R ) × ( S / L )   

定義

ψ = ( R _a  , L _a )である。

は一対一です。直積( S  / R ) × ( S / L ) に矩形帯の乗法を施して半群にすると、写像 ψ は同型になります。したがって、S は矩形帯に同型です。    

その他の同等性の主張は、関連する定義から直接導かれます。

半群の特別なクラス