帰納的集合

ブルバキはまた、帰納的集合を、空でない場合にゾルンの補題の仮定を満たす半順序集合として定義しています。

記述的集合論において、実数の帰納的集合（より一般的には、ポーランド空間の帰納的部分集合）は、ある自然数nと実パラメータに対して、正の Σ ¹ _n式によって定義できる単調操作の最小の不動点として定義できる集合です。

帰納的集合は太字の点クラスを形成します。つまり、連続 原像の下で閉じています。ワッジ階層では、それらは射影集合の上にあり、 L(R)内の集合の下にあります。十分な決定性を仮定すると、帰納的集合のクラスはスケール特性を持ち、したがって前ウェル順序付け特性を持ちます。

この用語にはいくつかの異なる意味があります: ^[1]

• ラッセルの定義によれば、帰納的集合とは、すべての要素に後続の要素が存在する空でない半順序集合である。例としては、自然数Nの集合があり、0が最初の要素で、他の要素は1を連続して加えることで生成される。^[2]
• ロイトマンは、同じ構成をより具体的な形で考察している。つまり、要素は集合であり、それらの中の空集合であり、すべての要素の後続は集合である。特に、すべての帰納的集合にはシーケンスが含まれる。^[3]${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y\cup \{y\}}$${\displaystyle \emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\dots }$
• 他の多くの著者（例えば、ブルバキ）にとって、帰納的集合とは、すべての全順序付き部分集合に上限がある部分順序付き集合、すなわちゾルンの補題の仮定を満たす集合である。^[4]