複数当選者承認投票

最も一般的な操作方法は部分集合操作であり、有権者は承認した候補者のごく一部のみを報告する。この操作はハイランドのフリーライディングと呼ばれ、操作者は他の有権者が候補者を承認することに便乗し、実際よりも状況が悪いふりをする。そして、ルールは操作者に「補償」するために、操作者が承認した候補者をより多く選出するように仕向けられる。

例えば、k=3のPAVルールを使用し、候補者が4人（a、b、c、d）、投票者が5人いるとします。投票者のうち3人がa、b、cを支持し、2人がa、b、dを支持します。この場合、PAVはa、b、cを選択します。しかし、最後の投票者がdのみを投票した場合、PAVはa、b、dを選択します。これは、その投票者にとって明らかに有利です。

複数勝者投票ルールは、どの投票者も虚偽の選好を報告しても満足度を高めることができない場合、戦略耐性があると呼ばれる。この特性には、操作の潜在的な結果に応じて、いくつかのバリエーションが存在する。

• 包含戦略耐性とは、いかなる操作によっても、操作者が承認した候補者の厳密な上位集合が選出されることがないことを意味する（上記のPAVの例のように）。
• カーディナリティ戦略耐性はより強力な特性であり、いかなる操作によっても、操作者が承認した候補者の選出数を増やすことはできないことを意味する。

戦略耐性特性は、潜在的な操作の種類によっても分類できます。^{[ 11 ]}

• 無関係な選択肢からの独立性とは、2つの委員会の相対的な優劣が、それらの委員会以外の候補者によって左右されないことを意味します。これにより、ある種の戦略的投票、すなわち、結果を操作するために無関係な候補者に対する投票を変更する行為を防ぐことができます。
• 単調性とは、投票者が承認した候補者の真のリストを明らかにしても、決して損をしないことを意味する。これは、承認した候補者の一部を隠すという、別の形の戦略的投票を防ぐ。

Lackner と Skowron ^{[ 11 ]}は、ABC カウント規則のクラス(位置スコアリング規則を複数勝者投票に拡張したもの) に焦点を当てています。これらの規則の中で、Thiele の規則だけが IIA を満たし、不満カウント規則だけが単調性を満たしています。功利主義的承認投票は、両方の公理を満たす唯一の非自明な ABC カウント規則です。また、 SD 戦略耐性 (基数戦略耐性を不確定規則に拡張したもの) を満たす唯一の非自明な ABC カウント規則でもあります。功利主義的承認投票が不適切な同点決着規則によって確定的になると、戦略耐性がなくなる可能性があります。

功利主義的承認投票（投票数無制限の多数決承認投票規則）は、基数戦略耐性と包含戦略耐性を満たすが、比例性を満たす他の既知の規則では満たさない。

これは、戦略耐性と比例性の両方を満たすルールが存在するかどうかという疑問を提起する。答えはノーである。ドミニク・ピーターズは、いかなる複数勝者投票ルールも、弱い形式の比例性、弱い形式の戦略耐性、および弱い形式の効率性を同時に満たすことはできないことを証明した。^{[ 12 ]}具体的には、k ≥ 3、nがkの倍数、候補者の数が少なくともk + 1 の場合、次の 3 つの特性は両立しない。

• 部分集合包含戦略耐性：承認済み候補者A _iを持つエージェントiがA _iの部分集合を報告する場合（他のすべての報告が同じである場合）、A _iから以前に選出されなかった候補者は選出されない。この特性は、真の承認集合の部分集合を報告するという1種類の操作のみを考慮するため、包含戦略耐性よりも弱い。
• 政党リスト比例性：政党リストプロファイルとは、政党リスト投票の特徴的なプロファイルであり、すなわち、投票者をk個のグループに分け、プロジェクトをk個のサブセットに分け、グループiの各投票者がグループi内のすべてのプロジェクトにのみ投票するというものである。政党リスト比例性とは、政党リストプロファイルにおいて、ある単一投票項目{ x }が少なくともB / n回出現すれば、xが選出されることを意味する。この特性は、配分による割り当ての下限値の特性よりも弱く、正当な代表性の特性よりも弱い。
  • 不可能性が成り立つ別の特性として、非重複多様性がある。これは、最大でk個の異なる政党を含む政党リストにおいて、各政党から少なくとも1人の議員が選出されることを意味する。
• 効率性の弱さ：候補者xが誰からも支持されておらず、かつ少なくともk人の候補者が支持されている場合、xは選出されない。

証明は帰納法による。基本ケース（k =3）はSATソルバーによって発見された。k=2の場合、より強い戦略耐性公理によって不可能性が成立する。

LacknerとSkowron ^{[ 11 ]}は、ランダムに生成されたプロファイルのうち、一部の有権者が誤った報告によって利益を得られる割合を経験的に測定することにより、戦略耐性と比例性のトレードオフを定量化した。各有権者が2人の候補者を承認する場合の例の結果は次のとおりである。Phragmenの逐次ルールはプロファイルの66%で操作可能。逐次PAV - 68%、PAV - 71%、満足度AVとMaximin AV - 86%、承認モンロー - 92%、Chamberlin-Courant - 95%。彼らはまた、p-幾何スコア関数（スコアは固定されたpに対する1/ pのべき乗）を用いたThieleのルールの操作可能性も確認した。p=1では功利主義AVが得られるのに対し、p→∞ではChamberlin-Courantが得られることに注意。彼らは、 pの値を増やすと操作性が高まることを発見した。功利主義的なAVに近いルールはCCに近いルールよりも操作性が低く、比例ルールはその中間である。

Barrot、Lang、Yokoo ^{[ 13 ]}は、順序付き加重平均とハミング距離に基づく別のルール群に関する同様の研究を発表している。彼らのルール群もパラメータpによって特徴付けられ、p = 0.5 では功利主義的 AV となり、p = 1 では平等主義的 AV となる。彼らは同様の結論に達している。pを大きくすると、操作可能なランダム プロファイルの割合が大きくなる。

不可能な結果を​​克服する一つの方法は、制限された選好領域を考慮することです。Botan ^{[ 14 ]}は政党リスト選好、つまり、投票者が互いに素な部分集合に分割され、各部分集合が互いに素な候補者の部分集合に投票するプロファイルを検討しています。彼女は、Thiele のルール (PAV など) が一般的な操作形式に耐性があり、「楽観的な」投票者に対しては戦略耐性があることを証明しています。

戦略耐性特性は、不確定ルール（複数の同数委員会を返すルール）にも拡張できます。LacknerとSkowron ^{[ 11 ]}は、確率的優位性戦略耐性と呼ばれる強力な拡張を定義し、それが功利主義的承認投票ルールを特徴付けることを証明しています。

Kluiving、Vries、Vrijbergen、Boixel、Endriss ^{[ 15 ]}は、不確定ルールの戦略耐性についてより詳細な議論を展開しており、特に Peters の不確定性結果を不確定ルールに拡張している。Duddy ^{[ 16 ]}は、異なる公理系を用いて不確定性結果を提示している。

非二分法戦略耐性と呼ばれる、さらに強力な戦略耐性の変種があります。これは、エージェントが根底に非二分法的な選好関係を持ち、承認は近似値としてのみ使用されることを前提としています。つまり、いかなる操作によっても、操作者によってより上位にランク付けされた委員会が選出されることはないということです。非二分法戦略耐性は、いかなる非自明な複数勝者投票ルールによっても満たされません。^{[ 17 ]}

Scheuerman、Harman、Mattei、Venableは、功利主義的な承認投票によって結果が決定される場合、非二分法的な選好を持つ人々が承認投票を行う必要があるときにどのように行動するかについての行動研究を発表している。^{[ 18 ] [ 19 ]}

フリーマン、カン、ペノックは、当選者の数が事前に固定されておらず、投票によって決定される複数当選者承認投票について研究している。たとえば、面接候補者を選定する場合、有力な候補者が多数いる場合は、面接に選ばれる候補者の数が多くなる可能性がある。彼らは、平均満足度の概念をこの設定に拡張している。^{[ 20 ]}

ケーキシェアリングは、実数区間 [0, c ]で表される候補者の連続体が存在する、複数勝者承認投票の変種です。目標は、合計の長さが最大​​kであるこの区間の部分集合を選択することです。ここで、 kとc は0 < k < cを満たす任意の実数です。混合財による承認投票^{[ 21 ]}はさらに一般的なモデルで、候補者は分割可能と分割不可能の両方である可能性があります。これは、複数勝者承認投票とケーキシェアリングの両方を一般化したものです。

• 1946年にジャーナリストのアンナ・ルイーズ・ストロングが観察したところによると、日本の降伏後、朝鮮の村々では競争選挙にブロック承認投票が用いられた。「ある村では12人の候補者がおり、そのうち5人が村委員会に選出されることになっていた。各投票者には候補者の名前が書かれた12枚のカードが渡され、投票者は選んだ候補者を白い箱に、選ばなかった候補者を黒い箱に入れた。」^{[ 22 ]}
• スイスのいくつかの州ではこのような方法で政府を選出しており、人口1000人未満のフランスの都市も同様である。^{[ 23 ]}
• 1963年、東ドイツでは比例代表制が廃止され、候補者が過半数の票を獲得しなければならない制度が導入された。この選挙区で議席数よりも多くの候補者が過半数を獲得した場合、名簿の順位によって国民議会（フォルクスカンマー）の議員が決定されることになっていた。