バランスのとれたポリガンマ関数

数学において、一般化ポリガンマ関数またはバランスのとれたネガポリガンマ関数は、オリヴィエ・エスピノサ・アルドゥナートとヴィクトル・ユーゴー・モルによって導入された関数である。^{[ 1 ]}

これは、ポリガンマ関数を負の次数および分数次数に一般化するものですが、正の整数次数についてはポリガンマ関数と等しくなります。

一般化ポリガンマ関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \psi (z,q)={\frac {\zeta '(z+1,q)+{\bigl (}\psi (-z)+\gamma {\bigr )}\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z)}}}$

または、

${\displaystyle \psi (z,q)=e^{-\gamma z}{\frac {\partial }{\partial z}}\left(e^{\gamma z}{\frac {\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z)}}\right),}$

ここで、ψ ( z )はポリガンマ関数であり、ζ ( z , q )はフルヴィッツゼータ関数である。

この関数は、以下の条件を満たすという意味でバランスが取れている。

${\displaystyle f(0)=f(1)\quad {\text{かつ}}\quad \int _{0}^{1}f(x)\,dx=0}$。

いくつかの特殊関数は、一般化ポリガンマ関数を用いて表現することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\psi (0,x)\\\psi ^{(n)}(x)&=\psi (n,x)\qquad n\in \mathbb {N} \\\Gamma (x)&=\exp \left(\psi (-1,x)+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi \right)\\\zeta (z,q)&={\frac {(-1)^{z}}{\Gamma (z)}}\psi (z-1,q)\\\zeta '(-1,x)&=\psi (-2,x)+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{12}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K(z)=A\exp \left(\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right)}$

ここで、K ( z )はK関数であり、Aはグレイシャー定数である。

バランスのとれたポリガンマ関数は、特定の点において閉じた形で表現できる（ここで、Aはグレイシャー定数、Gはカタラン定数である）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left(-2,{\tfrac {1}{4}}\right)&={\tfrac {1}{8}}\ln A+{\frac {G}{4\pi }}&&\\\psi \left(-2,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac {1}{2}}\ln A-{\tfrac {1}{24}}\ln 2&\\\psi \left(-3,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {3\zeta (3)}{32\pi ^{2}}}\\\psi (-2,1)&=-\ln A&\\\psi (-3,1)&={\frac {-\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\\psi (-2,2)&=-\ln A-1&\\\psi (-3,2)&={\frac {-\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}-{\tfrac {3}{4}}\\\end{aligned}}}$