アンペールの力の法則

静磁気学では、電流が流れる2 本の電線の間に働く引力または反発力(下の最初の図を参照) は、しばしばアンペールの力の法則と呼ばれます。この力の物理的な起源は、ビオ・サバールの法則に従って各電線が磁場を生成し、その結果、ローレンツの力の法則に従ってもう一方の電線が磁力を受けることです。

アンペールの力の法則の最もよく知られた最も単純な例は、電流のSI単位であるアンペアの定義の基礎となった（2019年5月20日以前[ 1 ]）^もので、2本の平行な導体間の単位長さあたりの磁力は

$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},}$$

ここで、はビオ・サバールの法則による磁力定数、は短い方のワイヤの単位長さあたりの各ワイヤにかかる全力（長い方のワイヤは短い方のワイヤに対して無限に長いと近似される）、は 2 本のワイヤ間の距離、 はワイヤに流れる 直流電流です。${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle F_{m}/L}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$

一方のワイヤが他方のワイヤよりも十分に長く、無限に長いと近似できる場合、およびワイヤ間の距離がワイヤの長さに比べて小さい (したがって、1 つの無限ワイヤ近似が成立する) が、ワイヤの直径に比べて大きい (したがって、ワイヤを無限に細い線として近似することもできる) 場合は、これは適切な近似です。 の値は選択した単位系によって異なり、 の値によって電流の単位の大きさが決まります。 ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle k_{\rm {A}}}$

SI単位系では^{[2] [3]、} 磁気定数 はSI単位で は$${\displaystyle k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$$${\displaystyle \mu _{0}}$

任意の形状に対する磁力の一般的な定式化は反復線積分に基づいており、以下に示すようにビオ・サバールの法則とローレンツ力を1つの式に組み合わせています。 ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$は、ワイヤ 2 によってワイヤ 1 が受ける磁力の合計です (通常はニュートンで測定されます)。
• ${\displaystyle I_{1}}$およびはそれぞれワイヤ1と2を流れる電流です（通常はアンペアで測定されます）。${\displaystyle I_{2}}$
• 二重線積分は、ワイヤ2の各要素の磁場によるワイヤ1の各要素にかかる力を合計します。
• ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$およびはそれぞれワイヤ1とワイヤ2に関連付けられた微小ベクトルです（通常はメートル単位で測定されます）。詳細な定義については線積分を参照してください。${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$
• ベクトルは、ワイヤ2の微分要素からワイヤ1の微分要素に向かう単位ベクトルであり、|r|はこれらの要素を隔てる距離である。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}$
• 乗算× はベクトル外積であり、
• の符号は方向を基準とします(たとえば、 が従来の電流の方向を指す場合、)。${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$${\displaystyle I_{1}>0}$

物質媒体内のワイヤ間の力を決定するには、磁気定数を媒体の 実際の透磁率に置き換えます。

2本の別々の閉じたワイヤの場合、ベクトル三重積を展開し、ストークスの定理を適用することで、この法則は次のように書き直すことができる。^[7] $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.}$$

この形式では、ニュートンの運動の第 3 法則に従って、ワイヤ 2 によるワイヤ 1 への力は、ワイヤ 1 によるワイヤ 2 への力と等しく、反対の方向であることがすぐにわかります。

一般的に知られているアンペールの力の法則の形は、 1873年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって導き出されたもので、アンドレ＝マリー・アンペールとカール・フリードリヒ・ガウスの元の実験と一致するいくつかの表現のうちの1つです。隣の図に示されているように、 2つの線形電流IとI 'の間の力のx成分は、1825年にアンペールによって、1833年にガウスによって次のように与えられました。^[8]

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

アンペールに続いて、ヴィルヘルム・ウェーバー、ルドルフ・クラウジウス、マクスウェル、ベルンハルト・リーマン、ヘルマン・グラスマン^[9] 、ヴァルター・リッツを含む多くの科学者がこの式を発展させ、力の基本的な表現を見つけました。微分化によって、次のことが示されます。

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

そしてアイデンティティも: $${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

これらの式を用いると、アンペールの力の法則は次のように表すことができます。 $${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

アイデンティティの使用： および $${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

アンペールの結果は次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

マクスウェルが指摘したように、この式には関数Q ( r )の導関数である項を追加することができ、積分すると互いに打ち消し合う。したがって、マクスウェルはds 'の作用から生じるdsへの力について「実験事実と一致する最も一般的な形式」を与えた。^[10] $${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

マクスウェルによれば、 Q はrの関数であり、「何らかの仮定なしに、有効電流が閉回路を形成する実験からは決定できない」。関数Q ( r ) を次の形式とすると、 $${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

dsがdsに及ぼす力の一般的な式は次のようになります。 $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

s ' の周りで積分するとk が消え、アンペールとガウスによって与えられた元の式が得られます。したがって、元のアンペールの実験に関する限り、k の値は重要ではありません。アンペールはk =−1 を取りました。ガウスはk =+1 を取りました。グラスマンとクラウジウスも同様ですが、クラウジウスはS成分を省略しました。非エーテル電子理論では、ウェーバーはk =−1 を取り、リーマンはk =+1 を取りました。リッツは理論でk を未定のままにしました。k = −1を取ると、アンペールの式が得られます。 $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

k=+1とすると、 $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

三重交差積のベクトル恒等式を用いると、この結果は次のように表される。 $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

ds ' の周りを積分すると、2 番目の項はゼロになり、マクスウェルによって与えられたアンペールの力の法則の形が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

一般的な公式から始めます。 ワイヤ 2 は x 軸に沿っており、ワイヤ 1 は y=D、z=0 にあり、x 軸に平行であると仮定します。 をそれぞれワイヤ 1 とワイヤ 2 の微分要素のx座標とします。 つまり、ワイヤ 1 の微分要素は にあり、ワイヤ 2 の微分要素は にあります。 線積分の性質により、およびです。また、 および したがって、積分は 次のようになります 。 外積の評価: 次に、からまで 積分します。 ワイヤ 1 も無限大の場合、 2 本の無限大の平行ワイヤ間の引力の合計は無限大であるため、積分は発散します。 実際、本当に知りたいのは、ワイヤ 1 の単位長さあたりの引力です。したがって、ワイヤ 1 の長さは大きいが有限であると仮定します。 すると、ワイヤ 1 が感じる力のベクトルは次のようになります。 予想どおり、ワイヤが感じる力はその長さに比例します。単位長さあたりの力は次のようになります。 力の方向は y 軸に沿っており、予想どおり電流が平行である場合、ワイヤ 1 がワイヤ 2 に向かって引っ張られることを表します。単位長さあたりの力の大きさは、上記の式と一致します。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle (x_{1},D,0)}$${\displaystyle (x_{2},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$$${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$${\displaystyle L_{1}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$

時系列順:

• アンペールの 1823 年のオリジナルの派生:
  • アシス、アンドレ・コッホ・トレス、シャイブ、JPM C、アンペール、アンドレ・マリー（2015）。アンペールの電気力学：電流要素間のアンペールの力の意味と進化の分析、および彼の代表作「経験から独自に導き出された電気力学的現象の理論」（PDF）の完全翻訳。モントリオール：アペイロン。ISBN 978-1-987980-03-5。
• マクスウェルの1873年の導出:
  • 電気と磁気に関する論文第2巻第4部第2章（§§502–527）
• ピエール・デュエムの1892年の導出:
  • デュエム、ピエール・モーリス・マリー（2018年9月9日）。「アンペールの力の法則：現代的入門」アラン・アヴェルサ（訳）。doi ：10.13140/RG.2.2.31100.03206/1。2019年7月3日閲覧。（EPUB）
    • 翻訳: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3、書籍 14 の付録、309 ～ 332 ページ(フランス語)
• アルフレッド・オラハリーの1938年の導出:
  • 電磁気理論：基礎の批判的検討 第 1 巻、102 ～ 104 ページ（以下のページも参照）

• アンペア
• 磁気定数
• ローレンツ力
• アンペールの回路法則
• 空きスペース

• アンペールの力の法則 力のベクトルのアニメーション グラフィックが含まれています。