ロスト不変量

数学において、ロスト不変量は、体k上の絶対的に単純な単連結代数群Gのコホモロジー不変量であり、ガロアコホモロジー群 H ³ ( k , Q / Z (2))の元をGの主同次空間に関連付けます。ここで、係数群Q / Z (2) は、 kの代数閉包の単位根群とそれ自身とのテンソル積です。Markus Rost (1991) は、最初に F ₄ 型の群の不変量を導入し、後に Serre (1995) によってまとめられた未発表の研究で、より一般的な群に拡張しました。

Rost 不変量はArason 不変量の一般化です。

G が体k上の絶対的にほぼ単純な単連結代数群であるとする。ロスト不変量はガロアコホモロジー群 H ³ ( k , Q / Z (2))の元a ( P ) をG -torsor Pに関連付ける。

元a ( P )は次のように構成される。kの任意の拡大Kに対して、正確なシーケンスが存在する。

${\displaystyle 0\rightarrow H^{3}(K,\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow H_{et}^{3}(P_{K},\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

ここで、中間のグループはエタールコホモロジー群であり、Q / Z はコホモロジーの幾何学的部分である。kの有限拡大K を選び、G がK上で分裂し、P がK上で有理点を持つようにする。すると、正確なシーケンスは直和として正準分裂し、エタールコホモロジー群は Q / Z を正準に含む。不変量a ( P )は、 H からのトレースマップの下でのQ / Zの元 1/[ K : k ]の像である。³
_他（P _K、Q / Z（2））からH³
_他( P , Q / Z (2))は部分群H3 ⁽ k , Q / Z ( 2))に属する。

これらの不変量a ( P )は、 kの体拡大Kにおいて関数的である。言い換えれば、これらは、関数K →H ¹ ( K、G ) から関数K →H ^{3 (} K、Q / Z (2))への射からなる、群Gのコホモロジー不変量の巡回群 Inv ³ ( G、Q / Z (2)) の元を形成するように適合する。この Inv 3 ( G 、 Q / Z ⁽ 2 ) )の元は、群の生成元であり、Gの Rost 不変量と呼ばれる。

• ガリバルディ、ライアン・スキップ (2001)、「ロスト不変量は、低ランクの準分割群に対して自明な核を持つ」、コメント。数学。ヘルブ。、76 (4): 684–711、arXiv : math/0205305、doi :10.1007/s00014-001-8325-8、MR  1881703
• ガリバルディ、スキップ、メルクリェフ、アレクサンダー、セール、ジャン＝ピエール（2003）、「単純連結代数群のロスト不変量」、ガロアコホモロジーにおけるコホモロジー不変量、大学講義シリーズ、第28巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3287-5、MR  1999383、Zbl  1159.12311
• Rost、Markus (1991)、「例外的なヨルダン代数のための (mod 3) 不変式」、科学アカデミーのコンプテス レンドゥス、シリーズ I、313 (12): 823–827、MR  1138557
• Serre、Jean-Pierre (1995)、「Cohomologie galoisienne: progrès et problèmes」、Astérisque、Séminaire Bourbaki Exp. No. 783、227 ( 4): 229–257、MR  1321649