ホップ建設

代数的位相幾何学において、ホップ構成は、 2 つの空間の結合 とから、からへの写像からの空間の懸濁への写像を構築する。これは、およびが球面で ある場合にホップ(1935)によって導入された。ホワイトヘッド (1942) はこれを使用してJ 準同型を定義した。 ${\displaystyle X*Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle SZ}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ホップ構成は、マップの合成として得られる。

${\displaystyle X*Y\rightarrow S(X\times Y)}$

そしてサスペンション

${\displaystyle S(X\times Y)\rightarrow SZ}$

からまでの地図の。 ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle Z}$

からへの写像は、両辺を の商と見なすことで得られます。ここでは単位区間です。 についてはを 、と同一視し、 についてはのすべての点を 1 点に縮約し、 のすべての点も 1 点に縮約します。したがって、からへの写像はを介し​​て因数分解されます。 ${\displaystyle X*Y}$${\displaystyle S(X\times Y)}$${\displaystyle X\times Y\times I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X*Y}$${\displaystyle (x,y,0)}$${\displaystyle (z,y,0)}$${\displaystyle (x,y,1)}$${\displaystyle (x,z,1)}$${\displaystyle S(X\times Y)}$${\displaystyle (x,y,0)}$${\displaystyle (x,y,1)}$${\displaystyle X\times Y\times I}$${\displaystyle S(X\times Y)}$${\displaystyle X*Y}$

• Hopf, H. (1935)、「Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension」、Fund.数学。、25 : 427–440
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1942)、「球面と回転群のホモトピー群について」、数学年報、第 2 シリーズ、43 (4): 634–640、doi :10.2307/1968956、ISSN  0003-486X、JSTOR  1968956、MR  0007107