アベルのテスト

数学において、アーベル検定（アーベルの基準とも呼ばれる）は、無限級数の収束を検定する方法である。この検定は、1826年にこれを証明した数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられた。 ^{[1]アーベル検定にはわずかに異なる2つのバージョンがあり、1つは実数の級数に使用され、もう1つは}複素解析におけるべき級数に使用されます。アーベルの一様収束検定は、パラメータに依存する一連の関数の一様収束の基準である。

次の文が真実であると仮定します。

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$収束級数である、
2. ${\displaystyle b_{n}}$単調なシーケンスであり、
3. ${\displaystyle b_{n}}$制限されています。

すると収束します。 ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$

このテストは、絶対収束しない級数のコンテキストで主に適切かつ有用であることを理解することが重要です。絶対収束する級数の場合、この定理は真実ではありますが、ほぼ自明です。^{[引用が必要]}${\displaystyle \sum a_{n}}$

この定理は部分和を使って直接証明することができます。

密接に関連する収束テストは、アーベルテストとしても知られ、収束円の境界上でのべき級数の収束を証明するためによく使用されます。具体的には、アーベルテストは、正の実数列が単調減少している場合（または少なくとも、ある自然数mより大きいすべてのnに対して） 、 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

次にべき級数

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

は、 z = 1の場合を除き、閉じた単位円上のどこでも収束します。z = 1の場合にはアーベル検定は適用できないため、その単一点での収束は別途調べる必要があります。アーベル検定は、特に収束半径が少なくとも 1 であることを意味していることに注意してください。また、変数を単純に変更 ζ = z / R することで、収束半径 R ≠ 1 のべき級数にも適用できます。 [ 2 ]アーベル検定は、 z ⁼ −1と することでライプニッツの基準を一般化したものであることに注意してください。

アーベルのテストの証明: z が単位円上の点、z ≠ 1 であるとする。各 に対して、次のように定義する。 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

この関数に（1 − z）を掛けると、

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

最初の加数は定数で、2 番目は一様にゼロに収束します (仮定により、シーケンスはゼロに収束するため)。残っているのは、この数列が収束することを示すことだけです。これは、絶対収束することを示すことで示します。 最後の合計は収束する伸縮合計です。仮定によりシーケンスが減少する ため、絶対値は消えます。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})}$${\displaystyle (a_{n})}$

したがって、この数列は閉じた単位円上で（一様にも）収束します。 の場合、（1 − z）で割って結果を得ることができます。 ${\displaystyle (1-z)f_{n}(z)}$${\displaystyle z\not =1}$

結果を得る別の方法は、ディリクレ検定を適用することです。実際、に対して が成り立つため、ディリクレ検定の仮定は満たされます。 ${\displaystyle z\neq 1,\ |z|=1}$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right|\leq {\frac {2}{|z-1|}}}$

アーベルの一様収束テストは、一連の関数の一様収束またはパラメータに依存する関数の不完全積分の基準です。これは、実数の通常の級数の収束に関するアーベルのテストに関連しており、証明は部分和の同じ手法に依存しています。

テストは以下のとおりです。{ g _n }を、すべてのx  ∈  Eおよび正の整数nに対してg _{n +1} ( x ) ≤  g _n ( x ) となるような集合E上の実数値連続関数の一様有界列とします。また、{ f _n } を、級数 Σ f _n ( x ) がE上で一様収束するような実数値関数の列とします。すると、 Σ f _n ( x ) g _n ( x ) はE上で一様収束します。

• ジーノ・モレッティ『複素変数の関数』Prentice-Hall, Inc., 1964年
• アポストル、トム・M. (1974)、数学的解析（第2版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W.「Abel の一様収束テスト」。MathWorld。

• PlanetMath.org での証明 (実数級数の場合)