アベルの正体

数学において、アーベルの恒等式（アーベルの公式^[1]またはアーベルの微分方程式恒等式とも呼ばれる）は、同次2階線型常微分方程式の2つの解のロンスキアンを元の微分方程式の係数で表す方程式である。この関係はn階線型常微分方程式に一般化できる。この恒等式はノルウェーの数学者ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられている。

アーベルの恒等式は微分方程式の異なる線形独立解に関係するため、これを使用して 1 つの解を他の解から見つけ出すことができます。これは、解を関連付ける便利な恒等式を提供するだけでなく、パラメータ変分法などの他の手法の一部としても役立ちます。これは、解が単純な解析形式を持たないベッセル方程式などの方程式に特に役立ちます。このような場合、ロンスキアンを直接計算することは困難だからです。

同次線型微分方程式の一次系の一般化は、リウヴィルの公式によって与えられる。

同次線形2階常微分方程式 を考える

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)\,y=0}$

実数値または複素数値の連続関数pとqを持つ実数直線の区間 I上にある。アーベルの恒等式は、 2つの実数値または複素数値の解とこの微分方程式のロンスキアン、つまり行列式によって定義される関数が ${\displaystyle W=(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_ {2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)\,y'_{2}(x)-y'_{1}(x)\,y_{2}(x) ,\クワッドx\in I,}$

関係を満たす

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)=W(y_{1},y_{2})(x_{0})\cdot \exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}p(t)\,dt\right),\quad x\in I,}$

各ポイントについて。 ${\displaystyle x_{0}\in I}$

• 特に、微分方程式が実数値の場合、ロンスキアンは常に のすべての点で 0 になるか、常に正になるか、常に負になるかのいずれかになります(下記の証明を参照)。後者の場合は 2 つの解を意味し、線形独立です (証明についてはロンスキアンを参照)。${\displaystyle W(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$
• 解の2次導関数が連続していると仮定する必要はありません。${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$
• アーベルの定理は、 が定数であることを意味するため、の場合に特に役立ちます。${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle W}$

積の法則を使ってロンスキアンを微分すると次のようになる（簡潔にするために、次のように書き、議論は省略する）。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1} 'y_{2}'\\&=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.\end{整列}}}$

元の微分方程式 を解くと、${\displaystyle y''}$

${\displaystyle y''=-(py'+qy).}$

この結果をロンスキ関数の導関数に代入して、の2次導関数を置き換えると 、${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&=-y_{1}(py_{2}'+qy_{2})+(py_{1}'+qy_{1})y_{2}\\&=-p(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2})\\&=-pW.\end{aligned}}}$

これは1階の線形微分方程式であり、アーベルの恒等式がで値を得る唯一の解を与えることを示す必要があります。関数はで連続なので、 のすべての閉じた有界な部分区間で有界であり、したがって積分可能であるため、 ${\displaystyle W(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(x)=W(x)\,\exp \!\left(\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I,}$

は明確に定義された関数である。積の法則、連鎖律、指数関数の導関数、微積分学の基本定理を用いて両辺を微分すると、次式が得られる。

${\displaystyle V'(x)={\bigl (}W'(x)+W(x)p(x){\biggl )}\,\exp \!{\biggl (}\int _{x_{0}}^{x}p(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )}=0,\qquad x\in I,}$

微分方程式 によるものです。したがって、 はに対して定数でなければなりません。そうでないと平均値定理（複素数値の場合の実部と虚部に別々に適用される）と矛盾することになるからです。 なので、に対するの定義を解くことでアーベルの恒等式が得られます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V(x_{0})=W(x_{0})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W(x)}$

区間上の関数のロンスキアンは行列式によって定義される関数である。 ${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I,}$

次の次数の同次線型常微分方程式を考える。 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle y^{(n)}+p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)\,y'+p_{0}(x)\,y=0,}$

実数値または複素数値の連続関数 を持つ実数直線上の区間上で、このn次微分方程式の解を とします。すると、アーベルの恒等式を一般化すると、この Wronskian は次の関係式を満たすことがわかります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle p_{n-1}}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x_{0})\exp {\biggl (}-\int _{x_{0}}^{x}p_{n-1}(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )},\qquad x\in I,}$

各ポイントについて。 ${\displaystyle x_{0}\in I}$

簡潔にするため、を と書き、 の議論は省略する。ロンスキアンが1階線形微分方程式を解くことを示せば十分である。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W(y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle W'=-p_{n-1}\,W,}$

証明の残りの部分は、ケース の証明と一致するからです。 ${\displaystyle n=2}$

の場合、となり、 の微分方程式はの微分方程式と一致します。したがって、以下では と仮定します。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle W=y_{1}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle n\geq 2}$

ロンスキ行列の導関数は定義行列式の導関数である。行列式のライプニッツ公式から、この導関数は各行を別々に微分することで計算できることが 分かる。したがって、${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W'&={\begin{vmatrix}y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y''_{1}&y''_{2}&\cdots &y''_{n}\\y'''_{1}&y'''_{2}&\cdots &y'''_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}\\&\qquad +\ \cdots \ +{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-3)}&y_{2}^{(n-3)}&\cdots &y_{n}^{(n-3)}\\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

ただし、展開からのすべての行列式には、最後の行を除いて、同一の行のペアが含まれていることに注意してください。線形従属行を持つ行列式は 0 に等しいため、最後の行のみが残ります。

${\displaystyle W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\y_{1}^{(n)}&y_{2}^{(n)}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}.}$

それぞれ常微分方程式を解くので、 ${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}^{(n)}+p_{n-2}\,y_{i}^{(n-2)}+\cdots +p_{1}\,y'_{i}+p_{0}\,y_{i}=-p_{n-1}\,y_{i}^{(n-1)}}$

あらゆる に対して となる。したがって、上記の行列式の最終行に をその最初の行、をその 2 番目の行、 をその 2番目の行まで加えていくと、 の導関数の行列式の値は変化せず、次式が得られる。 ${\displaystyle i\in \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{n-2}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W'={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y'_{1}&y'_{2}&\cdots &y'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}&y_{2}^{(n-2)}&\cdots &y_{n}^{(n-2)}\\-p_{n-1}\,y_{1}^{(n-1)}&-p_{n-1}\,y_{2}^{(n-1)}&\cdots &-p_{n-1}\,y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}=-p_{n-1}W.}$

解は正方行列の値の解を形成する ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}(x)&y_{2}^{(n-2)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-2)}(x)\\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}},\qquad x\in I,}$

次元一階同次線型微分方程式 の${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y'\\y''\\\vdots \\y^{(n-1)}\\y^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-p_{0}(x)&-p_{1}(x)&-p_{2}(x)&\cdots &-p_{n-1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-2)}\\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}.}$

この行列の跡は なので、アーベルの恒等式はリウヴィルの公式から直接導かれます。 ${\displaystyle -p_{n-1}(x)}$

• ニューハンプシャー州アベル、「楕円関数の精度」J. Reine Angew。 Math. 4 (1829) pp. 309–348。
• Boyce, WE および DiPrima, RC (1986)。『初等微分方程式および境界値問題』第 4 版。ニューヨーク: Wiley。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。
• Weisstein、Eric W.「アーベルの微分方程式の恒等式」。MathWorld。