年金

投資において、年金とは、通常有限期間にわたって一定の間隔で支払われる同種の一連の支払いのことです。^{[ 1 ]}年金は一般的に生命保険会社によって発行され、個人は定期的な収入の支払いと引き換えに一時金または一連の保険料を支払います。多くの場合、退職給付または遺族給付を提供します。^{[ 2 ]}

典型的な例としては、貯蓄口座への定期的な預金、毎月の住宅ローン支払い、毎月の保険料、年金支払いなどが挙げられます。^{[ 1 ]}年金の価値は通常、特定の利率で支払いを割り引くか累積することによって計算される現在価値または将来価値として表されます。

年金は、支払時期（例えば、即時年金と期首払い年金）、支払期間が固定か生存条件付きか、支払額が固定か変動か指数連動かなどによって分類できます。契約によっては、支払開始時期が即時の場合もあれば、一定期間の据え置き期間後の場合もあり、無期限に継続する契約は永久年金と呼ばれます。

中世および近世ヨーロッパでは、年金は地代、賃料、その他の収入権を通じて発展した。買い手または債権者は、土地、自治体収入、またはその他の収入源によって担保された定期的な支払いと引き換えに資本を提供することができた。^{[ 3 ]}これらの取り決めには、永久地代、終身地代、定期年金、戦争、公共事業、または債務統合の資金調達に使用された自治体年金が含まれていた。^{[ 4 ] [ 3 ]}この取引は収入権の売却として位置づけることができたため、直接的な利子付き融資が制限されていた法的および宗教的環境において、一種の信用を提供した。^{[ 3 ]}

16世紀から17世紀にかけて、年金は公共財政の重要な手段となった。オランダ共和国、フランス、イングランドの政府や自治体は、資金調達のために、固定期間年金、永久年金、終身年金を販売した。^{[ 4 ] [ 5 ]}終身年金は、発行者が利息と不確実な生存の両方を考慮しなければならないため、評価上の問題を引き起こした。平均余命が長い購入者が年齢や死亡率を反映しない条件を得た場合、粗雑な価格設定は発行者にとって契約のコストが高くなる可能性があった。^{[ 3 ] [ 6 ]}

生命条件付き支払いの数学的処理は、この実際的な問題から発展しました。ジョン・グラントの死亡率表に関する研究は、人口レベルで死亡を統計的に研究できることを示しました。^{[ 6 ]} 1671年、ヨハン・デ・ウィットは、オランダ政府のために生命年金に関する報告書を作成し、割引期待値推論を使用して生命年金と償還可能年金を比較しました。^{[ 7 ]}後にエドモンド・ハレーは、ブレスラウのデータを使用して生命表を作成し、生命年金の価値を計算しました。^{[ 8 ]}これらの研究は、死亡率の観察と複利計算を生存条件付き支払いに適用しました。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 6 ]}

トンチン制度は、通常の終身年金と並行して発展しました。トンチンでは、生存している参加者への支払額は、他の参加者が死亡するにつれて増加する可能性がありますが、終身年金は通常、年金受給者が生存している間、定められた収入を約束します。^{[ 4 ]}政府は、公的借入手段としてトンチンを利用しましたが、その支払い構造は、参加者を通常の終身年金とは異なる長寿リスクのプールにさらしました。^{[ 5 ]}最近の提案では、各参加者に固定の終身支払いを約束することなく長寿リスクをプールする退職所得設計として、トンチンに似た仕組みが復活しています。^{[ 9 ]}

18世紀には、年金の計算は共同生存、遺族給付、および遺族年金にまで拡大した。遺族年金は、通常、他人の死後に未亡人または扶養家族に支払われるもので、未亡人基金、聖職者基金、その他の相互扶助または職業上の取り決めに使用された。^{[ 10 ] [ 7 ]}その価格は、死亡率の仮定、選択、拠出レベル、および参加者が制度に加入した条件によって決まった。^{[ 10 ] [ 7 ]}

19世紀までに、年金事業は主に民間および公的債務から、観察された死亡率の経験に基づいて契約価格を設定する法人化された生命保険機関へと移行した。 ^{[ 4 ]}長期の約束には死亡率表、利子仮定、準備金、および支払能力方法が必要であったため、アクチュアリーの実務は年金事業を変えた。^{[ 6 ]}生命保険は早期死亡に対する保護であり、生命年金は異常に長い生存に対する保護であるため、生命保険と生命年金は同じ機関内で結びついた。

20世紀には、個人が直接小売年金を購入しなくても、年金のような収入が年金のような収入としてより一般的になった。確定給付年金や公的年金制度は多くの場合、終身収入を提供する一方、共同生存年金オプションは複数生命年金の原理を使用している。^{[ 11 ]}米国では、民間年金市場は1930年代まで小規模のままであったが、大恐慌中に保険会社の商品に対する需要が高まり、企業年金プラン向けの団体年金契約が発展した。^{[ 12 ]}

変額年金はその後、投資連動機能と生命保険商品で利用可能な税金繰延を組み合わせた契約として成長しました。^{[ 12 ]} 20世紀後半から21世紀初頭にかけての年金市場には、固定繰延年金、インデックス年金、所得特約、年金リスク移転、長寿リスク移転市場が追加されました。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}年金パズルの研究では、自主的な年金化の低さは、既存の年金収入、遺贈の動機、流動性選好、商品の複雑さ、価格設定、行動的枠組みなどの要因と関連付けられています。^{[ 15 ]}

年金はいくつかの方法で分類できる。

年金の評価では、一連の支払いをキャッシュフローとして扱い、特定の金利での現在価値または将来価値で要約します。^{[ 1 ] [ 36 ]}定額年金の場合、支払いが各期間の終わりに行われるか、初めに行われるかによって計算式が異なります。

年金が各期間の終わりに一定額の支払いでローンを返済するために使われる場合、支払いの流れは即時年金です。${\displaystyle P}$当初の融資元本、${\displaystyle R}$定期支払い、${\displaystyle i}$期間当たりの実効金利と${\displaystyle N}$支払いの総数。すると、支払いの流れの現在価値は $${\displaystyle P=R\,a_{{\overline {N}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}},}$$ つまり、ローンを償却する均等払い額は

${\displaystyle R={\frac {P}{a_{{\overline {N}}|i}}}=P\,{\frac {i}{1-(1+i)^{-N}}}.}$^{[ 36 ] [ 1 ] [ 18 ]}

未払い残高${\displaystyle n}$支払いは2つの同等の方法で取得できます。遡及方式では、残高は利息とともに蓄積された元の元金です。${\displaystyle n}$期間から既に支払われた金額の累計額を差し引いた額：

${\displaystyle B_{n}=(1+i)^{n}P-R\,{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\!\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$^{[ 36 ]}

将来予測法では、未払い残高は残りの現在価値である。${\displaystyle N-n}$支払い:

${\displaystyle B_{n}=R\,a_{{\overline {N-n}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-(N-n)}}{i}}.}$^{[ 1 ]}

各期間の初めに支払いが行われる期首払い年金の場合、同じ考え方が適用されますが、期首払い年金係数が使用されます。${\displaystyle R}$レベル支払いがあり、${\displaystyle N}$合計支払額、未払い残高${\displaystyle n}$支払いは

${\displaystyle B_{n}^{({\text{due}})}=R\,{\ddot {a}}_{{\overline {N-n}}|i},\qquad {\ddot {a}}_{{\overline {m}}|i}=(1+i)\,a_{{\overline {m}}|i}.}$^{[ 36 ]}

例。${\displaystyle P=1{,}000}$、${\displaystyle i=0.10}$、${\displaystyle N=3}$。 それから $${\displaystyle R={\frac {P\,i}{1-(1+i)^{-N}}}={\frac {1{,}000\times 0.10}{1-(1.10)^{-3}}}\approx 402.11.}$$ 1回の支払い後、過去の残高と将来の残高が一致する。 $${\displaystyle B_{1}=1{,}000\times 1.10-402.11\times {\frac {1.10-1}{0.10}}\approx 697.89,}$$ そして $${\displaystyle B_{1}=R\,a_{{\overline {2}}|0.10}=402.11\times {\frac {1-(1.10)^{-2}}{0.10}}\approx 697.89.}$$

固定金利住宅ローンも参照してください。

このセクションでは、定期支払額を求めるための計算例を示します。${\displaystyle R}$特定の現在価値または累積価値から支払われる年金について。${\displaystyle j}$名目年利率（転換可能）を表す${\displaystyle m}$年に数回、${\displaystyle i=j/m}$は支払期間あたりの実効金利であり、${\displaystyle n}$これは支払いの総数です。

現在価値を持つ期首払い年金の場合${\displaystyle A}$、均等払い${\displaystyle R}$そして${\displaystyle n}$支払いの場合、現在価値係数は $${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)}$$ レベル支払いは

${\displaystyle R={\frac {A}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}={\frac {A}{\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)}}.}$^{[ 1 ] [ 36 ] [ 18 ]}

• アメリカ法に基づく年金
• 欧州法に基づく年金
• スイス法に基づく年金

• 償却計算機
• 固定金利住宅ローン
• 終身年金
• 永久
• お金の時間価値

• サミュエル・A・ブロバーマン（2010）。投資と信用の数学、第5版。ACTEXアカデミックシリーズ。ACTEX出版。ISBN 978-1-56698-767-7。
• スティーブン・ケリソン（2008）。利子理論、第3版。マグロウヒル/アーウィン。ISBN 978-0-07-338244-9。
• スプラーグ、トーマス・ボンド（1878）。「年金」 。ブリタニカ百科事典。第 2巻（第9 版）。72 ～ 89ページ。