保険数理上の現在価値

保険数理上の現在価値（APV）は、生存や死亡などの不確実な事象によって時期や金額が左右される将来の支払いの現在価値の期待値である。 ^{[ 1 ]}

保険数理学では、APVは、生命保険や終身年金などの商品の給付金や保険料を、利子や生存確率、死亡確率に関する明示された仮定（多くの場合、生命表から取得される）に基づいて評価するために使用されます。^{[ 2 ]}

APVは、支払いのタイミングとモデリングの慣例に応じて、離散時間または連続時間で定義することができ、一般的には生命保険契約の標準的な保険数理表記法を使用して表現されます。^{[ 1 ]}

保険数理上の現在価値は、明示された利率と死亡率の仮定の下での契約の将来の支払いの割引価値を表す現在価値確率変数の期待値として定義されます。^{[ 1 ]}

割引は一般的に年実効金利を用いて表される。${\displaystyle i}$割引率${\displaystyle v}$時間は年単位で計測される。一定の利力の下で${\displaystyle \delta }$同じ割引は指数形式で表現できる。^{[ 1 ]}$${\displaystyle v=(1+i)^{-1},\qquad v^{t}=(1+i)^{-t}=\exp(-\delta t)}$$

生命依存型モデルでは、${\displaystyle (x)}$老齢の人生を表す${\displaystyle x}$。 させて${\displaystyle G}$を死亡時の年齢を表す確率変数とし、将来の寿命を とする。${\displaystyle T_{x}=Gx,}$そのため、生存などの出来事は${\displaystyle t}$は次のように表すことができます${\displaystyle T_{x}}$[ ^{2 ]​}

生存確率と死亡確率は、生命表の慣例に基づいた標準的な保険数理表記法を用いて表されることが多い。特に、$t ≥ 0$生存確率は${\displaystyle {}_{t}p_{x}=\Pr(T_{x}>t)}$離散時間モデルでは、1年間の死亡確率は次のように表される。${\displaystyle q_{x+t},}$連続時間モデルでは死亡力が${\displaystyle \mu _{x+t}}$密度を表すために使用できる${\displaystyle T_{x}}$以下の通りです。^{[ 2 ]}$${\displaystyle f_{T_{x}}(t)={}_{t}p_{x}\,\mu _{x+t}.}$$

終身保険は、被保険者の死亡時または死亡直後に、あらかじめ定められた給付金を支払います。記号(x)は「 x歳」を表すために使用され、 xはゼロより大きいと仮定される非ランダムなパラメータです。(x)に発行された終身保険1単位の保険数理上の現在価値は、記号で表されます。${\displaystyle \,A_{x}}$または${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$ in actuarial notation. Let G>0 (the "age at death") be the random variable that models the age at which an individual, such as (x), will die. And let T (the future lifetime random variable) be the time elapsed between age-x and whatever age (x) is at the time the benefit is paid (even though (x) is most likely dead at that time). Since T is a function of G and x we will write T=T(G,x). Finally, let Z be the present value random variable of a whole life insurance benefit of 1 payable at time T. Then:

${\displaystyle \,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-\delta T}}$

where i is the effective annual interest rate and δ is the equivalent force of interest.

To determine the actuarial present value of the benefit we need to calculate the expected value${\displaystyle \,E(Z)}$ of this random variable Z. Suppose the death benefit is payable at the end of year of death. Then T(G, x) := ceiling(G - x) is the number of "whole years" (rounded upwards) lived by (x) beyond age x, so that the actuarial present value of one unit of insurance is given by:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}Pr[T=t]=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[t<Gx\leq t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}\left({\frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}\right)\left({\frac {Pr[x+t<G\leq \end{aligned} &=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}{}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle {}_{t}p_{x}}$ is the probability that (x) survives to age x+t, and ${\displaystyle \,q_{x+t}}$ is the probability that (x+t) dies within one year.

If the benefit is payable at the moment of death, then T(G,x): = G - x and the actuarial present value of one unit of whole life insurance is calculated as

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{\infty }v^{t}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,}$

where ${\displaystyle f_{T}}$ is the probability density function of T, ${\displaystyle \,_{t}p_{x}}$ is the probability of a life age ${\displaystyle x}$ surviving to age ${\displaystyle x+t}$ and ${\displaystyle \mu _{x+t}}$ denotes force of mortality at time ${\displaystyle x+t}$ for a life aged ${\displaystyle x}$.

The actuarial present value of one unit of an n-year term insurance policy payable at the moment of death can be found similarly by integrating from 0 to n.

The actuarial present value of an n year pure endowment insurance benefit of 1 payable after n years if alive, can be found as

${\displaystyle \,_{n}E_{x}=Pr[G>x+n]v^{n}=\,_{n}p_{x}v^{n}}$

In practice the information available about the random variable G (and in turn T) may be drawn from life tables, which give figures by year. For example, a three year term life insurance of $100,000 payable at the end of year of death has actuarial present value

${\displaystyle 100,000\,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=100,000\sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}$

例えば、ある個人が特定の年に生存する確率が90%であると仮定します（つまり、Tはパラメータp=0.9の幾何分布に従い、そのサポートとなる集合は{1, 2, 3, ...}です）。すると

${\displaystyle Pr[T(G,x)=1]=0.1,\quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,\quad Pr[T(G,x)=3]=0.9^{2}(0.1)=0.081,}$

金利6%の場合、3年定期保険の1単位の保険数理上の現在価値は

${\displaystyle \,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.24244846,}$

したがって、10万ドルの保険の保険数理上の現在価値は24,244.85ドルです。

実際には、給付金は1年よりも短い期間の終わりに支払われる場合があり、その場合は計算式の調整が必要となる。

毎年1ドルずつ継続的に支払われる終身年金の保険数理上の現在価値は、次の2つの方法で求めることができます。

総支払方法（総現在価値の期待値を取る方法）：

これは生命保険契約の方法と似ています。今回は、確率変数Yは、年齢xの被保険者に発行され、被保険者が生存している限り継続的に支払われる、年 1 の年金の現在価値の合計を表す確率変数であり、次のように表されます。

${\displaystyle Y={\overline {a}}_{\overline {T(x)|}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{\delta }}={\frac {1-v^{T}(x)}{\delta }},}$

ここで、T=T(x)は年齢xの人の将来の寿命を表す確率変数である。Yの期待値は次のとおりである。

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt.}$

現在の支払い方法（支払いの期待値を表す時間の関数の現在価値の合計を取る）：

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\,dt}$

ここで、F ( t )は確率変数Tの累積分布関数である。

この等価性は部分積分からも導かれる。

実際には、終身年金は継続的に支払われるわけではありません。各期間の終わりに支払いが行われる場合、保険数理上の現在価値は次のようになります。

${\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}.}$

年間支払総額を1に保った場合、期間が長くなるほど、以下の2つの効果により現在価値は小さくなる。

• 支払いは、連続支払いの場合よりも平均して半期間遅れて行われる。
• 死亡期間に対する比例的な支払いはなく、つまり平均して期間の半分に相当する支払いが「失われる」ことはありません。

逆に、一括払いの費用が同じで内部収益率が同じ契約の場合、支払間隔が長くなるほど、年間支払総額は大きくなる。

上記で使用した標準的な離散時間慣例の下では、死亡年の年末に支払われる終身保険給付金の現在価値と、生存中に支払われる終身年金の現在価値は、等比数列形式の割引に基づく単純な恒等式を満たします。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle v=(1+i)^{-1}}$そして${\displaystyle d=i/(1+i)=1-v}$年間の実効割引率とする。${\displaystyle K_{x}}$、現在価値確率変数は以下を満たす：^{[ 2 ]}$${\displaystyle d\sum _{k=0}^{K_{x}}v^{k}+v^{K_{x}+1}=1.}$$

期待値を取ると、保険数理上の現在価値間の対応する関係が得られます。${\displaystyle A_{x}}$ユニットの終身保険の保険数理上の現在価値と${\displaystyle {\ddot {a}}_{x}}$終身年金の期首払いの現在価値は単位です: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A_{x}+d\,{\ddot {a}}_{x}=1.}$$

以来${\displaystyle a_{x}={\ddot {a}}_{x}-1}$年金即時の場合、関係の同等の形式は次のとおりです。^{[ 2 ]}$${\displaystyle A_{x}=vd\,a_{x}.}$$

一定の力に着目した連続時間モデル${\displaystyle \delta }$死亡時に支払われる終身保険と生存中に支払われる継続終身年金は、同様の恒等式で結び付けられます。現在価値確率変数のレベルでは、$\displaystyle \delta \int _{0}^{T_{x}}\exp(-\delta t)\,dt+\exp(-\delta T_{x})=1}$期待値を取ると次のようになります。^{[ 1 ]}$$\displaystyle {\bar {A}}_{x}+\delta \,{\bar {a}}_{x}=1.}$$

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